Variabile aleatoria e funzione di probabilità

[anonymous_b7df6f]

Buonasera!

Ho qualche dubbio sull'uso delle definizioni che ho da poco appreso.
Faccio subito un esempio classico e mostro le mie perplessità.
Prendiamo come esempio il lancio di due monete in simultanea (che da un lato presentano Testa, dall'altro Croce).


In questo caso la variabile aleatoria $X$ è una sola e può assumere i valori ${text(TT, TC, CT, CC)}$?
E' corretto affermare ciò?


Mentre invece la funzione di probabilità $P(X)$ è la funzione che associa ad ogni valore che può assumere la variabile aleatoria $X$ la probabilità che essa si verifichi.
Quindi $P(X) = {1/4 , 1/4 , 1/4 , 1/4}$ .
E' corretto affermare ciò?

Chiedo questo per sicurezza perché su un mio libro di testo la definizione di variabile aleatoria e la definizione di funzione di probabilità si mischiano, si confondono notevolmente.

[Silent]

In questo caso la variabile aleatoria X è una sola e può assumere i valori {TT, TC, CT, CC}?
E' corretto affermare ciò?

No, quello che hai scritto è lo spazio \(\displaystyle \Omega \) degli eventi elementari. Su di esso poi, puoi definire qualunque funzione ti pare del tipo \(\displaystyle X:\Omega\to\mathbb{R} \). Questa sì, sarà una variabile aleatoria.

Quindi P(X)={14,14,14,14} .
E' corretto affermare ciò?

Stessa confusione di prima. Quando, in generale, hai a che fare con un esperimento aleatorio, si definisce una tripletta che si chiama 'spazio delle probabilità', che è: \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{A},P) \). Come detto su, \(\displaystyle \Omega \) contiene tutti i singoli risultati possibili di una realizzazione dell'esperimento. Nel tuo caso \(\displaystyle \Omega={TT, TC, CT, CC} \). \(\displaystyle \mathcal{A} \) è invece un'algebra (pensiamo a spazi di probabilità finiti), che se non l'avete già vista non sto a complicarti le idee, puoi pensarla per ora banalmente come l'unione di tutti gli eventi possibili (sai cosa vuol dire 'evento'?). Infine, \(\displaystyle P \) è la probabilità associata ad ogni singolo risultato possibile di una realizzazione dell'esperimento (detto anche evento elementare).
Poi, avendo a disposizione lo spazio, puoi definirci sopra tutte le variabili aleatorie (v.a.) che vuoi e di conseguenza puoi associare ad ogni valore possibile della v.a. una probabilità, perché semplicemente quel valore particolare che la v.a. può assumere è subordinato al verificarsi di un certo numero di eventi elementari, ognuno con una sua probabilità ben definita prima.

[anonymous_b7df6f]

In questo caso la variabile aleatoria X è una sola e può assumere i valori {TT, TC, CT, CC}?
E' corretto affermare ciò?

No, quello che hai scritto è lo spazio \(\displaystyle \Omega \) degli eventi elementari. Su di esso poi, puoi definire qualunque funzione ti pare del tipo \(\displaystyle X:\Omega\to\mathbb{R} \). Questa sì, sarà una variabile aleatoria.

Quindi P(X)={14,14,14,14} .
E' corretto affermare ciò?

Stessa confusione di prima. Quando, in generale, hai a che fare con un esperimento aleatorio, si definisce una tripletta che si chiama 'spazio delle probabilità', che è: \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{A},P) \). Come detto su, \(\displaystyle \Omega \) contiene tutti i singoli risultati possibili di una realizzazione dell'esperimento. Nel tuo caso \(\displaystyle \Omega={TT, TC, CT, CC} \). \(\displaystyle \mathcal{A} \) è invece un'algebra (pensiamo a spazi di probabilità finiti), che se non l'avete già vista non sto a complicarti le idee, puoi pensarla per ora banalmente come l'unione di tutti gli eventi possibili (sai cosa vuol dire 'evento'?). Infine, \(\displaystyle P \) è la probabilità associata ad ogni singolo risultato possibile di una realizzazione dell'esperimento (detto anche evento elementare).
Poi, avendo a disposizione lo spazio, puoi definirci sopra tutte le variabili aleatorie (v.a.) che vuoi e di conseguenza puoi associare ad ogni valore possibile della v.a. una probabilità, perché semplicemente quel valore particolare che la v.a. può assumere è subordinato al verificarsi di un certo numero di eventi elementari, ognuno con una sua probabilità ben definita prima.

Super! grazie mille.