Dubbi su momenti di una variabile aleatoria

[Marco Beta2]

Buon pomeriggio a tutti, studiando dagli appunti mi è sorto un dubbio sul concetto di media, valor quadratico medio, varianza e momenti di una variabile aleatoria forse per via della disposizione che hanno nei quaderni...
Vi scrivo di seguito i miei dubbi:

1)La media e il valor quadratico medio sono momenti rispettivamente del primo e del secondo ordine?

2)La varianza è un momento del secondo ordine centrato rispetto la media?

3)Il calcolo della media di una determinata v.a., ad esempio quella esponenziale, parte da una delle due definizioni di media (v.a. continue o discrete), ovvero per l'esponenziale la media mi è data da: $E[X]=int_(-oo )^(+oo) x lambda e^(-lambda x) dx $ (cioè l'integrale di un valore che moltiplica la PDF della v.a in esame), da qui, elevando la $x$ all'ordine di interesse, otterrò il momento relativo all'ordine desiderato con qualcosa tipo: $E[X^r]=int_(-oo )^(+oo) x^r lambda e^(-lambda x) dx $? La varianza in questo caso sarà sempre data da $Var=E[(X- mu x)^2] = E(X^2)-E[(X)]^2$ avendo cura di sostituire $E(X^2)$ e $E[(X)]^2$ in modo corretto?

Scusate per la lunghezza e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto

[tommik]

tutto a posto.....


in generale la media è calcolata così

$mathbb{E}[X]=int_(mathcal(D)) xdF$

nel caso della tua exp neg il dominio è $int_0^(+oo)$

esistono anche altri modi di calcolare la media, a volte più comodi.....ma trovi tutto sui libri

Riprendendo l'esempio dell'exp neg hai che¹


$mathbb{E}[X]=int_0^(oo)xthetae^(-theta x)dx=1/theta int_0^(oo)(xtheta)e^(-xtheta)d(x theta)=1/theta Gamma(2)=1/theta$

ma anche

$mathbb{E}[X]=int_0^(oo)[1-F(x)]dx=int_0^(oo)e^(-thetax)dx=1/theta$

Così, per tua conoscenza, per i momenti della Gaussiana (standard o centrata) puoi guardare questo interessante topic

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Note

1. ti consiglio di imparare a risolvere questo integrale usando la Gamma di Eulero e non per parti....perché è più comodo, soprattutto se devi calcolare momenti di ordine alto, tipo $mathbb{E}[X^100]$ ↑

[Marco Beta2]

...

Grazie mille tommik, sempre disponibilissimo e super chiaro
Mi è sorto un altro dubbio, nel caso della varianza, si può calcolare solo utilizzando un momento di ordine 1 come la media, giusto? Cioè la questione dei momenti con la varianza non entra in gioco perchè la $E[X^2]$ va calcolata anch'essa sulla falsa riga della media, cioè elevando al quadrato la x all'interno dell'integrale della media (nel caso di v.a. continua e con il metodo che sto utilizzando)

EDIT
grazie per il consiglio sulla gamma di Eulero, l'ho appena visto... purtroppo da noi queste cose le hanno fatte per parti che trovo un po macchinoso e lungo come metodo, forse però dato dal fatto che io le sto studiando ad ingegneria e non altrove quindi magari la metodologia non è raffinata come altrove però grazie, proverò sicuramente a studiarla sperando di metabolizzarla in maniera piu rapida

[Marco Beta2]

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Stavo modificando il messaggio di prima scusami
Posto una foto per essere più rapido e spero più chiaro:
**** immagine rimossa****

nell'esempio lui alla prima variabile associa l'integrale per il calcolo della media elevando al quadrato la $x$ come richiesto appunto dal primo valore della varianza, poi alla seconda variabile associa il quadrato della media calcolata in precedenza... quello che volevo dire è che la prima variabile sarà sempre calcolata associando la PDF al quadrato della $x$, non posso metterci altro... in realtà era una domanda un po inutila e stupida

[tommik]

ha fatto semplicemente

$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$


dove

$E(X^2)=int_0^(oo)x^2f(x)dx$

come al solito

Come si risolve l'integrale? Per parti? noooo

$E(X^2)=int_0^(oo)x^2 theta e^(-thetax)dx=1/theta^2int_0^(oo)(xtheta)^2e^(-thetax)d(thetax)=1/theta^2Gamma(3)=1/theta^2 2! =2/theta^2$

[Marco Beta2]

...

Infatti domanda stupidissima... quando l'ho riletta ho notato la gaffe
Grazie ancora per l'aiuto

[Marco Beta2]

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Comunque questa tecnica d'integrazione mi sembra bella potente su questi argomenti e spero non sia proibitiva come studio

[tommik]

facilissimo. Basta studiare la definizione di Funzione Gamma di cui ti ho messo il link sopra.....

Eccone uno carino (da provare solo se fa parte del tuo programma ovviamente)


...appena inventato, non l'ho ancora risolto.

[Marco Beta2]

...

Purtroppo no, solo per parti Però lo tengo d'occhio per vedere la soluzione anzi domani gli dedico una mezz'oretta e posto anche la mia risposta se riesco

[tommik]

è molto semplice e carino. Bisogna considerare che

$mathbb{E}[g(X)]=mathbb{E}[mathbb{E}[g(X)|Y]]$

noto questo...il resto vien da sé

dato che siamo tutti in casa per ovvi motivi...un po' di pratica non può che farti bene....