Indipendenza di n variabili aleatorie di Bernoulli

Messaggioda Silent » 17/03/2020, 12:40

Dato il seguente insieme di eventi elementari:

\(\displaystyle \Omega=\{\omega:\omega=(b_1,...,b_n),b_i=0,1\} \)

dove la probabilità di ognuno di essi è data da \(\displaystyle p(\omega)=p^{\sum_{i=1}^n b_i}q^{\sum_{i=1}^n 1-b_i} \), con il solito fatto che \(\displaystyle p+q=1 \).

Definisco su questo spazio n variabili aleatorie: \(\displaystyle \xi_1(\omega)=b_1 \),...,\(\displaystyle \xi_n(\omega)=b_n \).

Voglio mostrare che sono indipendenti. Devo cioè far vedere che preso un gruppo qualsiasi di k di esse, vale che:

\(\displaystyle P(\xi_{i_1}=x_{i_1} \cap ... \cap \xi_{i_k}=x_{i_k})=P(\xi_{i_1}=x_{i_1})\cdot ... \cdot P(\xi_{i_k}=x_{i_k}) \)

dove ovviamente i vari \(\displaystyle x_i \) possono assumere solo i valori 0 oppure 1.

Esplicitando quelle probabilità, ciò è equivalente a voler dimostrare che:

$$ p^{x_{i_1}+...+x_{i_1}}q^{(1-x_{i_1})+...+(1-x_{i_1})} \sum_{j=0}^{n-k}\binom{n-k}{k}p^jq^{n-k-j} =$$
$$=p^{x_{i_1}+...+x_{i_1}}q^{(1-x_{i_1})+...+(1-x_{i_1})}\sum_{j_1,...,j_k=0}^{n-1}\binom{n-1}{j_1}\binom{n-1}{j_2}...\binom{n-1}{j_k}p^{j_1+j_2+...+j_k}q^{k(n-1)-(j_1+j_2+...+j_k)} $$

Non riesco a trovare un modo utile di riarrangiare quelle sommatorie, qualcuno ha qualche idea?
Avevo pensato a questa:

\(\displaystyle \sum_{j_1,...,j_k=0}^{n-1}\binom{n-1}{j_1}\binom{n-1}{j_2}...\binom{n-1}{j_k}p^{j_1+j_2+...+j_k}q^{k(n-1)-(j_1+j_2+...+j_k)} =\)
\(\displaystyle = \sum_{s=0}^{k(n-1)}\sum_{j_1+...+j_k=s}\binom{n-1}{j_1}\binom{n-1}{j_2}...\binom{n-1}{j_k}p^{s}q^{k(n-1)-s} \)

ma non ne ricavo granché.
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Re: Indipendenza di n variabili aleatorie di Bernoulli

Messaggioda Silent » 17/03/2020, 22:30

Ok, risolto, bastava usare il binomio di Newton.
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