@ghira: mi permetto di fare un'osservazione [cercando] di interpretare la richiesta dell'OP
Nel suo messaggio ha visto come si possa applicare il TLC alla somma di bernulliane (avrà visto quella formula in rete) e chiede se tale formula può essere applicata ad altre distribuzioni (quindi ha citato due delle poche distribuzioni che conosce)
La risposta quindi è sì, sotto opportune condizioni il TLC può essere applicato a tutte le distribuzioni.
Per un'esponenziale? Ovvio che non serve a nulla, la somma è una distribuzione nota....però cerchiamo di entrare anche nella testa di chi scrive...
adesso gli preparo anche un esempietto interessante (secondo me)
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Il TLC si applica, sotto opportune condizioni, alla somma di $n$ variabili aleatorie i.i.d. e con $n$ sufficientemente grande. Tale $n$ grande, nella maggior parte dei casi è abbastanza piccolo...regole empiriche lo collocano ad un valore di $n>=32$....ma in molti casi tale n è davvero molto piccolo. Pensiamo anche che quando stiamo calcolando una probabilità in realtà è una semplice % quindi a volte stiamo a portarci dietro 10 decimali e poi esprimiamo il risultato in modo molto approssimato: beh viene circa una volta su 3
Esempio:
Lanciamo 2 dadi a sei facce regolari....
Detta $X$ la variabile che descrive la somma dei numeri estratti, calcoliamo la probabilità che $X>=9$
Con una semplice osservazione dello spazio campionario vediamo che tale probabilità è
$mathbb{P}[X>=9]=10/36~~28%$
Applichiamo il teorema del limite centrale con un $n$ davvero piccolo: $n=2$
La variabile $X$ è questa,
$X={{: ( 1 , 2, 3 , 4 ,5 , 6 ),( 1/6 , 1/6 , 1/6 , 1/6 , 1/6 , 1/6 ) :}$
Di media $mathbb{E}[X]=3.5$ e varianza $mathbb{V}[X]~~2.92$
Applichiamo dunque il TLC ottenendo
$mathbb{P}[X>=9]=mathbb{P}[Z>=(Sigma X-n mu)/(sigmasqrt(n))]=mathbb{P}[Z>=(8.5-7)/(2.415)]~~27%$
....27 contro 28% mi pare già un ottimo risultato....all'aumentare di $n$ la precisione aumenta