Tiro a segno - valore medio vinto

[creative88]

Al tiro a segno tra coloro che sparano il 10% hanno probabilità $p1 = 0,8$ di colpire il bersaglio (tipo 1); il 30% hanno probabilità $p2 = 0,5$ di colpire il bersaglio (tipo 2); il 60% hanno probabilità $p3 = 0,2$ di colpire il bersaglio (tipo 3). Si calcoli:

a)Si calcoli la probabilità che un cliente colpisca il bersaglio in un singolo tiro.
b)Un cliente spara 5 volte: le prime 4 manca il bersaglio ed alla quinta volta lo colpisce. Qual è la probabilità che il cliente sia di tipo 1? Di tipo 2? Di tipo 3?

Ipotizzando che ogni tiro costi 1€ e che ogni centro dia in premio 5€, qual è il valore medio vinto da un partecipante con un singolo tiro?

Per la prima parte dell'esercizio ho ragionato come segue:

Identifico il seguente evento:

$A =$ {il cliente colpisce il bersaglio in una prova}

Indicando con T1, T2, T3 il tipo di cliente in base al teorema della probabilità totale possiamo scrivere che:

$P(A)=P(A│T1)*P(T1)+P(A│T2)*P(T2)+P(A│T3)*P(T3)$
$P(T1) = 0,1$ (su un campione di 100 clienti, 10 sono di tipo 1)
$P(T2) = 0,3$ (su un campione di 100 clienti, 30 sono di tipo 2)
$P(T3) = 0,6$ (su un campione di 100 clienti, 60 sono di tipo 3)
$P(A|T1) = p1=0,8$ è la probabilità che un cliente di tipo 1 colpisca il bersaglio
$P(A|T2) = p2=0,5$ è la probabilità che un cliente di tipo 2 colpisca il bersaglio
$P(A|T3) = p3=0,2$ è la probabilità che un cliente di tipo 4 colpisca il bersaglio

$P(A)=P(A│T1)*P(T1)+P(A│T2)*P(T2)+P(A│T3)*P(T3)=p1*0,1+p2*0,3+p3*0,6=0,8*0,1+0,5*0,3+0,6*0,2=0,08+0,15+0,12=0,35$

Identifico il seguente evento:

$E=$ {il cliente fa centro al quinto tiro} = {4 insuccessi nelle prime quattro prove e un successo alla quinta prova}

Applicando il teorema della probabilità totale possiamo scrivere che:

$P(E)=P(E│T1)*P(T1)+P(E│T2)*P(T2)+P(E│T3)*P(T3)=(1-p1)^4*p1* P(T1)+(1-p2)^4*p2*P(T2)+(1-p3)^4*p3*P(T3)=(1-0,8)^4*0,8*0,1+(1-0,5)^4*0,5*0,3+(1-0,2)^4*0,2*0,6=0,000128+0,009375+0,049152=0,058655$

$P(E|T1)=P(¬A|T1)*P(¬A|T1)*P(¬A|T1)* P(¬A|T1)*P(A|T1)$
$P(E|T2)=P(¬A|T2)*P(¬A|T2)*P(¬A|T2)* P(¬A|T2)*P(A|T2)$
$P(E|T3)=P(¬A|T3)*P(¬A|T3)*P(¬A|T3)* P(¬A|T3)*P(A|T3)$

Applicando la formula di Bayes si ha che:

$P(T1│E)=((P(E│T1)*P(T1)))/(P(E)) =(0,000128)/(0,058655)≅0,0022$
$P(T2│E)=((P(E│T2)*P(T2)))/(P(E)) =(0,03125)/(0,058655)≅0,16$
$P(T3│E)=((P(E│T3)*P(T3)))/(P(E)) =(0,049152)/(0,058655)≅0,838$
$P(T3│E)=1-P(T1│E)-P(T2│E)=1-0,0022-0,16≅0,838$

Supponendo che la prima parte dell'esercizio sia corretta (se ci sono errori vi pregherei di correggermi) mi sono bloccato a questo punto:

Ipotizzando che ogni tiro costi 1€ e che ogni centro dia in premio 5€, qual è il valore medio vinto da un partecipante con un singolo tiro?

Mi verrebbe da fare cosi: (e sono pronto a ricevere bastonate!)
costo: $c =1€$
premio: $p=5€$

$E[c]=P(A)*c=0,35€$
$E[p]=P(A)*p=1,75€$
$E[p]-E[c]=1,75-0,35=1,4€$ valore della vincita

Confido nel vostro aiuto come sempre esemplare. Grazie.

[tommik]

Ipotizzando che ogni tiro costi 1€ e che ogni centro dia in premio 5€, qual è il valore medio vinto da un partecipante con un singolo tiro?

Al punto a) hai già calcolato la probabilità che un cliente a caso colpisca il bersaglio: $p=0.35$

Il biglietto per sparare costa 1€

quindi la distribuzione di massa di probabilità del guadagno è la seguente

$G={{: ( -1 , 4 ),( 0.65 , 0.35) :}$

di media $-1xx0.65+4xx0.35=0.75€$

il resto va bene

[creative88]

Grazie mille.

[Umby]

$P(T2│E)=((P(E│T2)*P(T2)))/(P(E)) =(0,03125)/(0,058655)≅0,16$

..... (se ci sono errori vi pregherei di correggermi).....

quel 0,03125 ??

[creative88]

Umby hai ragione il valore corretto è 0,009375.
Ho fatto un errore di trascrizione.
Grazie mille.