Sigma-Algebra

[raimond]

Buongiorno, dal titolo si capisce con che cosa sto cercando di cimentarmi.
Sto cercando di capirci qualcosa e vorrei fare qualche domanda forse grossolana.

La Sigma-Algebra ha senso soltanto negli insiemi discreti?

Perchè si parla di insiemi numerabili intendendo che questi insiemi sono infiniti?

Perchè non ci si può accontentare di un insieme numerabile finito?

Greazie

[vict85]

Cos'è un insieme numerabile finito?

Detto questo, la \(\sigma\)-algebra più utilizzata è su \(\mathbb{R}\) (la \(\sigma\)-algebra di Borel rispetto alla topologia standard di \(\mathbb{R}\)) quindi non capisco le tue domande. Immagino che vedrai esempi di \(\sigma\)-algebra più avanzate più avanti nel corso di probabilità (oppure nel corso di teoria della misura che farai tra qualche anno).

[raimond]

Grazie per le vostre risposte.
Ho bisogno di un attimo di tempo per elaborarle

[raimond]

Grazie tantissimo per questa spiegazione.
In effetti detta cosi, posso capire quale sia il problema

Immagina ora di estrarre a sorte un qualsiasi numero reale. Ora $Omega = RR$ e l'insieme delle parti, l'insieme dei sottoinsiemi di $RR$, diventa imbarazzante. Così come l'insieme delle parti di $NN$ è "più infinito" di $NN$, ora l'insieme delle parti di $RR$ è "più infinito" di $RR$: non hai abbastanza numeri reali per poter assegnare una probabilità a ciascun elemento di \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\). E allora, invece di inseguire i troppi sottoinsiemi qualsiasi di $RR$, lavori su una $sigma$-algebra.

E' un po come trasformare uno spazio reale, quindi non numerabile in uno spazio numerabile, all'interno del quale siano compresi sicuramente tutti gli insiemi (gli eventi) di interesse, ma non solo. Ma questo spazio deve essere non finito, altrimenti non si potrebbe creare una corrispondenze biunivoca con i naturali. Si deve quindi trovare uno stratagemma per rendere numerabile lo spazio reale ma contemporaneamente chiuso e infinito. Per questo motivo deve comprendere lo spazio vuoto e anche i complementari. E questo è quello che fa la Sigma-algebra.