Chiarimento sul prodotto di variabili aleatorie

[matte.c]

Scusate non ho capito come vengono fuori, nella soluzione a questo problema, gli estremi di integrazione ( facendo iperbore che si muove all interno di un quadrato $[0;1] xx [0;1]$ non mi torna) e anche il risultato dei due integrali non capisco perche il primo viene 1.
Grazie

[tommik]

1) Scusate non ho capito come vengono fuori gli estremi di integrazione ( facendo iperbore che si muove all interno di un quadrato $[0;1]*[0;1]$ non mi torna)

2) e anche il risultato dei due integrali non capisco perche il primo viene 1.
Grazie

1) basta fare il disegno, non è possibile sbagliare.



mi pare evidente che $F_T(t)=t+int_t^1 t/x dx$

2) infatti non viene 1. Viene $t$ poi derivando fa 1 (non serve nemmeno l'integrale per calcolare l'area di un rettangolo)

Ciò premesso,

1) è un esercizio che sarà stato risolto $n$ volte sul forum.

2) è un topic di SEI anni fa....un necropost, per dirla in modo diverso

3) è stato postato in una stanza poco adatta....abbiamo una stanza dedicata per questi problemi

4) ci sono tanti modi differenti di risolvere il problema, ecco il metodo generale:

${{: ( z=xy ),( u=x ) :}rarr{{: ( x=u ),( y=z/u ) :}$

calcoliamo lo jacobiano:

$|J|=1/u$

Quindi la densità congiunta viene $f_(UZ)(u,z)=1/u$

con un semplice ragionamento trovi anche il suo dominio

$f_(UZ)(u,z)=1/u mathbb{1}_((0;1))(z) mathbb{1}_((z;1))(u)$

e quindi subito

$f_Z(z)=int_z^1 1/u du=-logz mathbb{1}_((0;1))(z)$

che coincide con il risultato postato 6 anni fa (ma ottenuto senza passare per la FdR)