a. Il cubo chiuso \([0,1]^n\) dotato dell'ordine lessicografico;
b. Il cubo infinito \([0,1]^{\mathbb N}\) dotato dell'ovvio ordine indotto;
c. Un ordine totale e denso di cardinalità\(\neq\aleph_1\) (più bassa: i razionali; più alta, a vostra scelta);
d. Altro...
Chiaramente continuando a chiedere che \(\mu\) sia \(\sigma\)-additiva e che \(\mu(X)=\top\), sicché \(J\) deve essere un qualche tipo di reticolo (modulare, complementato, completo, etc.) con estremi \(\{\perp,\top\}\).
In un qualche senso, la scelta di \([0,1]\) è in qualche modo "universale", e questo può accadere per diversi motivi:
1. La maggior parte delle \(\sigma\)-algebre utili alla pratica di tutti i giorni sono \(\sigma\)-algebre di boreliani rispetto a una topologia su \(X\); del resto se \(X\) è un insieme finito, l'immagine di \(\mu : \Omega(X) \to [0,1]\) è al più numerabile. Ha qualche altra proprietà, tipo essere densa? (Cosicché ad esempio \([0,1]\) sarebbe un opportuno completamento di \(\mu(\Omega)\).)
2. L'intervallo chiuso \([0,1]\), o una qualsiasi sua immagine omeomorfa (quindi un compatto connesso \(J\subset \mathbb R\)) ha una certa, profonda, proprietà universale,
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Definisco una coalgebra di diastema, o semplicemente un diastema, come un insieme dotato delle seguenti operazioni
d1. Due costanti distinte \(\perp\, \neq \top\);
d2. Due operazioni unarie \( (\_)^\lor, (\_)^\land : X\to X\) che preservano top e bottom e tali che
\[
\forall x\in X : x^\lor = \top \quad {\sf OR} \quad x^\land = \perp
\] Ora, un tale insieme è una "coalgebra" per il funtore \((\_)^{\lor 2}\), che manda un insieme \(X\) con due punti distinti \(\top,\perp \in X\) nell'insieme \(X\lor X\), ottenuto come sottoinsieme del prodotto \(X\times X\) delle coppie \(\{(x,y) \mid x = \top \} \cup \{(x,y) \mid y = \perp\}\) (chiaramente il punto \((\top,\perp)\) appare in entrambi gli insiemi, ed è lo stesso elemento di \(X\lor X\); volendo si può essere più formali, definendo \(X\lor X\) come il pushout
ma questo non è essenziale).
Sono ora chiare due cose:
1. Esiste una nozione ovvia di omomorfismo di diastemi: è una funzione \(f : X \to Y\) che preserva top e bottom e commuta con \(\land\) e \(\lor\); e quindi esiste una nozione di isomorfismo di diastemi.
2. L'insieme \([-1,1]\) (scelgo questi estremi perché è più facile definire la sua struttura) è un diastema rispetto alle operazioni \(x^\lor = \min (1,2 x+1)\) e \(x^\land = \max(2x-1,-1)\).
Vale, in più, che \(I\) è il diastema terminale: per ogni altro diastema \(X\) esiste un unico omomorfismo di diastemi \(f : X \rightsquigarrow I\). (Come conseguenza, esiste una biiezione, che in effetti è un omeomorfismo, \(I\to I\lor I\), definita nel modo ovvio in cui l'intervallo \([-1,1]\) viene percorso a velocità doppia.)
d1. Due costanti distinte \(\perp\, \neq \top\);
d2. Due operazioni unarie \( (\_)^\lor, (\_)^\land : X\to X\) che preservano top e bottom e tali che
\[
\forall x\in X : x^\lor = \top \quad {\sf OR} \quad x^\land = \perp
\] Ora, un tale insieme è una "coalgebra" per il funtore \((\_)^{\lor 2}\), che manda un insieme \(X\) con due punti distinti \(\top,\perp \in X\) nell'insieme \(X\lor X\), ottenuto come sottoinsieme del prodotto \(X\times X\) delle coppie \(\{(x,y) \mid x = \top \} \cup \{(x,y) \mid y = \perp\}\) (chiaramente il punto \((\top,\perp)\) appare in entrambi gli insiemi, ed è lo stesso elemento di \(X\lor X\); volendo si può essere più formali, definendo \(X\lor X\) come il pushout
ma questo non è essenziale).
Sono ora chiare due cose:
1. Esiste una nozione ovvia di omomorfismo di diastemi: è una funzione \(f : X \to Y\) che preserva top e bottom e commuta con \(\land\) e \(\lor\); e quindi esiste una nozione di isomorfismo di diastemi.
2. L'insieme \([-1,1]\) (scelgo questi estremi perché è più facile definire la sua struttura) è un diastema rispetto alle operazioni \(x^\lor = \min (1,2 x+1)\) e \(x^\land = \max(2x-1,-1)\).
Vale, in più, che \(I\) è il diastema terminale: per ogni altro diastema \(X\) esiste un unico omomorfismo di diastemi \(f : X \rightsquigarrow I\). (Come conseguenza, esiste una biiezione, che in effetti è un omeomorfismo, \(I\to I\lor I\), definita nel modo ovvio in cui l'intervallo \([-1,1]\) viene percorso a velocità doppia.)
che quindi lo caratterizza univocamente come la scelta minima di insieme dotato di una certa struttura. Possiamo però scegliere altri spazi dove \(\mu\) assume valori. Qualcuno ha mai studiato questo problema?