Piccolo dubbio sul segno, verifica di ipotesi

[CLaudio Nine]

Ciao!!

Il mio dubbio nasce da un semplice esercizio sulla Verifica di ipotesi, in un caso unidirezionale a sinistra.

Considerando un campione aleatorio, da cui ricavo la media, una media campionaria $bar(x)$ con distribuzione normale di cui conosciamo la varianza $sigma^2$, si chiede di verificare il seguente schema di ipotesi (con livello di significatività uguale ad $alpha$):

$H_0 : mu = mu_0$

$H_1 : mu < n$

$alpha in RR , n in RR$

Al solito, mi calcolo il valore $z_0$ corrispondente all'ipotesi $H_0$

$z_0=(bar(x)_0-mu_0)/(sigma/(sqrt(n)))$


la "zona di rifiuto, che chiamerò $R$ è

$R= {z in RR : z<z_alpha}$

DOMANDA:

Il valore critico che determinerà la "zona di rifiuto" sarà $z_alpha$.
Come mai, in termini pratici esso non sarà il valore numerico a cui corrisponderà la probabilità $(1-alpha)$ sulle tavole, ma bensì sarà tale valore moltiplicato per $-1$, ovvero negativo?

[ghira]

Come mai, in termini pratici esso non sarà il valore numerico a cui corrisponderà la probabilità $(1-alpha)$ sulle tavole, ma bensì sarà tale valore moltiplicato per $-1$, ovvero negativo?

Che valore trovi sulle tavole? Esattamente quali tavole hai?

[CLaudio Nine]

Come mai, in termini pratici esso non sarà il valore numerico a cui corrisponderà la probabilità $(1-alpha)$ sulle tavole, ma bensì sarà tale valore moltiplicato per $-1$, ovvero negativo?

Che valore trovi sulle tavole? Esattamente quali tavole hai?

Classiche tavole della distribuzione normale standard.

In generale, trovo il valore $z_alpha$, tuttavia (leggendo nelle soluzioni dei vari esercizi nel caso di verifica di ipotesi con $H_1$ unilaterale a sinistra) il valore corretto è $-z_alpha$.

[ghira]

In generale, trovo il valore $z_alpha$, tuttavia (leggendo nelle soluzioni dei vari esercizi nel caso di verifica di ipotesi con $H_1$ unilaterale a sinistra) il valore corretto è $-z_alpha$.

Le tavole che ho sottomano hanno $\Phi(x)$ solo per $x\ge0$. E dicono chiaramente che se voglio $x<0$ devo usare $1-\Phi(-x)$.

Quando sei sotto la media $x$ è minore di $0$.

Forse non capisco cosa stai chiedendo.

Voglio che $\Phi(x)$ sia $0,05$? Cerco $0,95$ nella tavola.. $x=1,64$, diciamo. Quindi voglio $x=-1,64$, più o meno.

Andando nell'altra direzione, se voglio $\Phi(-0,3)$ cerco $\Phi(0,3)$ .. $0,6179$. Quindi $\Phi(-0,3)=0,3821$.

Puoi farci un esempio specifico e concreto di cosa stai facendo e perché credi che ci sia qualcosa di strano?

[CLaudio Nine]

Puoi farci un esempio specifico e concreto di cosa stai facendo e perché credi che ci sia qualcosa di strano?

testo:

"Nell'ambito di un’indagine sui consumi delle famiglie italiane è stato osservato un campione di $n=250$ unità. E' risultato che le famiglie intervistate spendono mediamente $bar(x)=62$ euro al mese per l'acquisto di carne, con una varianza campionaria pari a $s^2=289$, e che $187$ di esse possiedono più di un’automobile.

$X$ ha distribuzione normale con varianza non nota. E' inoltre possibile utilizzare il teorema del limite centrale.

Verificare il seguente schema di ipotesi per il parametro media $mu$

$H_0: mu = mu_0=100 , H_1: mu<100 , alpha=0,05$"


Mia soluzione:

scrivo ovviamente che :

$bar(X) ~ N(100, 289/250)$

$z= (62-100)/ (sqrt((289/250)))$

Adesso nasce il dubbio
valore critico che stabilisce zona di rifiuto:
utilizzando le tavole in cui ho la funzione di ripartizione della variabile casuale normale standardizzata

$z_alpha=$ valore che corrisponde alla probabilità $1-alpha$, ovvero valore che corrisponde alla probabilità $0,95$, ovvero $1,64$.

Invece il valore corretto è $-1,64$. Come mai?

Tralascio il proseguimento dell'esercizio perché mi è chiaro.

[tommik]

Non è un "piccolo dubbio" ma è una grossa confusione sull'argomento che nasce dal fatto di non aver capito come funziona la regione di rifiuto. Provo a spiegartelo in modo alternativo¹.

La statistica che hai utilizzato come pivot si chiama "Statistica Test" ed il suo valore numerico si chiama $z_(test)$ o $z_("oss")$ , cioè osservato.

Regola di decisione:
Si rifiuta $mathcal(H)_0$ quando la statistica test si trova in una delle due code della distribuzione. Quindi per dirla in modo diverso devi confrontare lo $z_("oss")$ con il quantile che abbia il suo stesso segno come si vede nel seguente grafico. La figura di sinistra è il caso di $z_(oss)$ negativo, quella di destra è il caso di $z_(oss)$ positivo.

(click per ingrandire)



Puoi ovviare al problema confrontando il valore assoluto della statistica test e rifiutando quando $|z_("oss")|>=z_(alpha)=1,64$

Oltretutto quando l'ipotesi alternativa sarà bilaterale sarai obbligato ad usare il valore assoluto...quindi anche se lo fai subito male non fa.

Infine osserviamo che potresti decidere anche senza calcolare il quantile $+-1.64$ ma utilizzando il metodo (più generale e più utilizzato nella pratica) del p-value. Dato che non so se è in programma ne riparliamo solo in caso servisse.

---

Note

1. per gli addetti ai lavori la seguente spiegazione può sembrare troppo approssimativa ma è una spiegazione intuitiva di noti teoremi formali che si trovano su tutti i testi elementari di statistica ↑

[anonymous_58f0ac]

Se può consolarti, ho commesso anch'io lo stesso errore.
Come mostrato da tommik, guardare il grafico nel quale viene rappresentata la regione di rifiuto aiuta molto di più di qualsiasi procedimento.

[ghira]

$z_alpha=$ valore che corrisponde alla probabilità $1-alpha$, ovvero valore che corrisponde alla probabilità $0,95$, ovvero $1,64$.

Invece il valore corretto è $-1,64$. Come mai?

Perché vuoi $0,05$, non $0,95$. Quindi $-1,64$.

[CLaudio Nine]

Grazie tommik! grazie anche a ghira e a tauto