Media v.a. gaussiana standard e non standard

[Marco Beta2]

Buon pomeriggio a tutti e soprattutto buone festività nonostante il periodo... Volevo chiedervi un chiarimento sulla media di v.a. gaussiane standard e non standard.
V.a. gaussiana standard:

$E[X]=int_(-oo)^(+oo) x 1/(sqrt(2pi)) e^(-(x^2)/2) dx = 0 $

Zero per via del fatto chela $x$ è dispari mentre la PDF è pari, l'integrale di una funzione dispari è zero pertanto tutto vale zero


V.a. gaussiana non standard

$E[X]=E[sigma X_o + mu] = sigmaE[X_o] + mu = mu$

oppure:

$E[X]=E[a X_o + b] = aE[X_o] + b$


Questi tre risultati sono corretti? E perchè nel caso di v.a. gaussiane non standard ottengo una volta $mu$ e una volta $aE[X_o] + b$?

Grazie a chi mi darà una mano

[tommik]

??

Ottieni una volta $mu$ ed una volta $b$ cioè sempre lo stesso valore essendo $b=mu$

La standard conviene chiamarla $Z$ per non far confusione, mentre $X~N(mu;sigma^2)$

Standardizzando hai

$Z=(X-mu)/sigma rarr X=sigmaZ+mu$

$E[X]=sigma E[Z]+mu=mu$

Esercizio: puoi tranquillamente calcolare media e varianza della Gaussiana non standard in modo analitico, facendo le opportune considerazioni, più o meno come hai fatto per la media di una gaussiana standard

Potrebbe esserti utile anche questo esercizio, tanto chi l'ha postato non si farà più vedere

[Marco Beta2]

...

Grazie tommik, come sempre una garanzia
Il passaggio da standard a non standard (trasformazione affine se non erro) lo hai spiegato molto più chiaramente di come mi è stato fatto e me lo segno sugli appunti... la $E[Z]=0$ è tale per quanto ho scritto nella mia richiesta in merito alla media della v.a. gaussiana standard?

Per l'esercizio, ti ringrazio per la proposta ma per adesso vorrei finire anche la parte di segnali di questo corso per poi mettermi sugli esercizi pensando solo a quelli... sto cercando di fare una full immersion di teoria per poi dedicarmi a trovare un metodo per gli esercizi.
Grazie ancora