Esercizio uso teorema limite centrale

[anonymous_b7df6f]

Ciao! Sto facendo un esercizio. La soluzione non c'è sul libro, e volevo sapere cosa ne pensavate.

"Il 12% della popolazione mondiale è mancina. Trova la probabilità che in un campione aleatorio di 100 persone vi sia un numero di mancini tra i 10 e i 14"

Io ho impostato una bernoulliana e poi ho utilizzato il teorema del limite centrale.

$theta=0,12$

$x ~ N[100 (0,12) ; 100(0,12)(0,88)]$

ovvero

$x ~ N[12 ; 10,56]$


Calcolo la probabilità

$P(10<x<14)$

normalizzo

$=P(-0,615<z<0,615)$

$=P(|z|<0,615)$

$=1 - 2(P(z>0,615))$

Siete d'accordo con tutto ciò che ho fatto?
Da qui in poi basta utilizzare le tavole, grazie alle quali trovo il risultato

$=0.4422$

[tommik]

Qui la variabile è discreta ed occorre chiarire bene quali siano gli estremi.

Numero di mancini tra 10 e 14 cosa significa? $10<=X<=14$ oppure estremi esclusi? Secondo me inclusi.

Qui includere o escludere gli estremi è importante perché per approssimare bene occorre applicare un fattore di correzione

Caso 1)

Cerchiamo

$mathbb{P}[10<X<14]=Phi[(13.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]-Phi[(10.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]~~ 35.563%$

Puoi fare anche i conti (solo per controllo ovvimente) usando la binomiale ed ottieni la probabilità esatta:

$sum_(x=11)^(13)((100),(x))0.12^x *0.88^(100-x)~~ 35.496%$


Caso 2) (io farei così)

Cerchiamo

$mathbb{P}[10<=X<=14]=Phi[(14.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]-Phi[(9.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]~~ 55.830%$

Puoi fare anche i conti (solo per controllo ovvimente) usando la binomiale ed ottieni la probabilità esatta:

$sum_(x=10)^(14)((100),(x))0.12^x *0.88^(100-x)~~ 55.835%$

Come vedi le approssimazioni sono più che ottime e, come puoi notare, in entrambi i casi il tuo risultato è sbagliato (non torna nemmeno la tua lettura delle tavole )

[anonymous_58f0ac]

...

$mathbb{P}[10<X<14]=Phi[(13.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]-Phi[(10.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]~~ 35.563%$

...

E' strettamente necessario utilizzare il fattore di correzione per avere un'approssimazione accettabile? Chiedo solo per sapere.
P.s. Senza utilizzare il fattore di correzione, effettivamente anch'io giungo ad un valore diverso da quello di anonymous_be0efb, tuttavia è anche molto distante da quello di tommik.

Ho fatto ciò:

$1-2(P(z>0,615))$

$=1-2(1-P(z<0,615))$
$=1- 2( 1- 0,7291)$
$=1- 2(0,2709)$
$= 1- 0,5418$

$= 0,4582$

[tommik]

L'utilizzo del fattore di correzione dipende da molti fattori....in questo caso sì, è d'obbligo e te ne accorgi perché le probabilità esatte sono molto diverse dal risultato a cui arrivate senza correzione.

Ci sono delle regole euristiche se utilizzarlo oppure no....alcune dicono con $n<1000$ ma la precisione dipende da molti fattori. Quando approssimate una binomiale con una normale lo usate così non sbagliate più

(va usato cum grano salis, ovviamente)

[anonymous_58f0ac]

L'utilizzo del fattore di correzione dipende da molti fattori....in questo caso sì, è d'obbligo e te ne accorgi perché le probabilità esatte sono molto diverse dal risultato a cui arrivate senza correzione.

Ci sono delle regole euristiche se utilizzarlo oppure no....alcune dicono con $n<1000$ ma la precisione dipende da molti fattori. Quando approssimate una binomiale con una normale lo usate così non sbagliate più

(va usato cum grano salis, ovviamente)

Buono a sapersi! Grazie tommik (anche per la locuzione "cum grano salis", che non conoscevo)

[anonymous_b7df6f]

[-X

Qui la variabile è discreta ed occorre chiarire bene quali siano gli estremi.

Numero di mancini tra 10 e 14 cosa significa? $10<=X<=14$ oppure estremi esclusi? Secondo me inclusi.

Qui includere o escludere gli estremi è importante perché per approssimare bene occorre applicare un fattore di correzione

Caso 1)

Cerchiamo

$mathbb{P}[10<X<14]=Phi[(13.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]-Phi[(10.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]~~ 35.563%$

Puoi fare anche i conti (solo per controllo ovvimente) usando la binomiale ed ottieni la probabilità esatta:

$sum_(x=11)^(13)((100),(x))0.12^x *0.88^(100-x)~~ 35.496%$


Caso 2) (io farei così)

Cerchiamo

$mathbb{P}[10<=X<=14]=Phi[(14.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]-Phi[(9.5-12)/sqrt(100xx0.12xx0.88)]~~ 55.830%$

..

Grazie tommik, chiarissimo!