camicorte ha scritto:per ora l'unico metodo che abbiamo utilizzato per calcolarre l'MLE è azzerando la funzione score.
Allora non lo puoi risolvere.
La verosimiglianza che hai scritto è incompleta. Manca il dominio (e non è un dettaglio)
La verosimiglianza corretta è questa
$L(theta) prop 1/(theta-1)^(2n) mathbb{1}_((x_((n))+1;+oo))(theta)$
(ho tralasciato le quantità che non dipendono da $theta$ tanto la verosimiglianza è definita a meno di costanti moltiplicative)
Ora, anche senza fare calcoli si vede subito che quella verosimiglianza (come funzione di $theta>1$) è strettamente decrescente e quindi il suo massimo
1 non può essere che al punto di frontiera
Prendi anche un esempio più semplice, con una densità uniforme in $(0;theta)$
Prova a calcolare lo stimatore ML di $theta$ e vedrai che, anche qui, sulla base di un campione casuale di ampiezza $n$, l'azzeramento dello score non ti porta da nessuna parte...
EDIT:
camicorte ha scritto: Credo che $prod_(i=1)^n X i$ sia statistica sufficiente
Questa me l'ero persa....quella è l'altra funzione nel teorema di fattorizzazione....$h(ul(x))$
Teorema: SE ESISTE UNO STIMATORE SUFFICIENTE, allora lo stimatore di massima verosimiglianza è funzione dello stimatore sufficiente
qui lo stimatore sufficiente esiste ed è proprio $S=max(x_1,...,x_n)$... e qualunque funzione monotona di $S$
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
prendiamo un campione casuale $X_1,...,X_n$
basta leggere il dominio della densità che hai scritto tu ed osserviamo che
$0<=X_1<=theta-1$
$0<=X_2<=theta-1$
...
$0<=X_n<=theta-1$
quindi possiamo dire che $theta-1>=$ qualunque $X_i$ ovvero
$theta-1>=X_((n))$
e quindi $theta>=X_((n))+1$
il grafico della verosimiglianza è questo