Varianza campionaria e varianza

[anonymous_b7df6f]

Buonasera! Si consideri una variabile aleatoria $x$ che rappresenta il peso in grammi dei vasetti di marmellata prodotti dall'azienda Fiunti.
L'azienda Fiunti è fallita e non produrrà più tale prodotto.
In magazzino si hanno $3000$ vasetti.

Il valore atteso di $x$ è dato, ed è $mu_0= 200$.

4 vasetti vengono estratti dal magazzino e pesati:

${199,1 ; 199,3 ; 199,8 ; 200,4}$

media campionaria = $bar(x)= 199,65$

Domande:

1) Mi confermate che la varianza campionaria $s^2$ è così definita:

$s^2= 1/ (n-1) sum_i^( n) (x_i - bar(x))^2

= 1/ (3) sum_i^( 4) (x_i- 199,65)^2 $

$= 1/3 (199,1-199,65)^2 + (199,3-199,65)^2 + (199,8-199,65)^2 + (200,4-199,65)^2 $

mentre invece la varianza $sigma^2$ è così definita:

$sigma^2 = 1/n sum_i^( n) (x_i - mu_0)^2 $

$=1/3000 sum_i^( 3000) (x_i-200)^2 $

?

2) Se l'azienda Fiunti non fosse fallita e avesse continuato a produrre vasetti di marmellata, come avrei potuto calcolare la varianza $sigma^2$?

[anonymous_58f0ac]

1) Quella che chiami varianza campionaria si chiama varianza campionaria corretta. Quanto a quella che chiami varianza, dipende. In inferenza se dividi per $n=$numerosità del campione hai la varianza campionaria (non corretta), nella teoria dei campioni se dividi per $n=$numerosità della popolazione hai la varianza di popolazione.¹
2) Se la produzione continua, la popolazione delle bottiglie diventa virtualmente infinita. Non puoi calcolare la varianza di popolazione, perché non esiste più una popolazione finita. Devi pensare di avere invece un processo che genera bottiglie secondo una certa legge di probabilità, di cui puoi stimare la varianza (che ora è un parametro di quella legge di probabilità, non è qualcosa che potresti calcolare misurando tutte le bottiglie prodotte) ricorrendo alla varianza campionaria corretta, oppure anche alla varianza campionaria, in cui l'$n$ che compare al denominatore è la numerosità del campione.

Sergio sono d'accordo con te su tutto.
Tuttavia, nel caso della popolazione finita con $n=3000$, pesando tutti gli $n$ oggetti, dividere per $n$ darebbe la varianza corretta, mentre dividere per $n-1$ no.
Sei d'accordo?

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Note

1. Se sei curioso, Conti & Marella, Campionamento da popolazioni finite, Springer, 2012, pag. 7. Ma sono cose che magari studierai tra qualche tempo e che ti accenno solo per farti notare che se puoi scrivere in quel modo, con $i$ che va fino a 3000, è solo perché puoi considerare tutta intera una popolazione finita, mentre invece in 2)... ↑

[anonymous_b7df6f]

Grazie milleeeee