Inversa di una V.A. TRIANGOLARE

[matte.c]

Buongiorno
Scrivo un esercizio trovato nelle dispense che mi blocca all' ultimo.
sia $T$ una V.A. Triangolare in $[0;2]$ e moda $=4/3$
trovare la PDF di $Z=1/T$

allora io scrivo la mia V.A. che sarà
$f(t)={(3/4t, if 0<t<4/3),(3-3/2t, if 4/3<t<2),(0 , if ALTROVE):}$

scrivo la sua funzione di ripartizione
$F(t)={(3/8t^2, if 0<t<4/3),(1-(2-t)^2/(4/3), if 4/3<t<2),(0 , if ALTROVE):}$

pongo $P(Z<t) = P(1/T<t) = P(T>1/t) = 1-P(T<1/t)$

quindi scrivo $F(1/t)$ ed infine $1-F(1/t) = {(3/(8t^2)),(1+(2-(1/t))^2/(4/3)),(0):}$

ora qui basta che derivo $(d(1-F(1/t)))/(dt)$ per trovare la nuova PDF richiesta.

ora a scarso di probabili errori di calcolo fatti qui sopra, non mi torna mai il risultato degli intervalli per quanto riguarda la $1-F(1/t)$ i risultati sono sempre errati rispetto le proprietà caratterizzanti di una funzione di ripartizione.

Grazie mille per l' aiuto

[tommik]

$f(t)$ giusta

$F(t)$ sbagliata


La FdR corretta è questa:

$F_T(t)={{: ( 0 , ;t<0 ),( 3/8t^2 , ;0<=t<4/3 ),( 3t-3/4t^2-2 , ;4/3<=t<2 ),( 1 , ;t>=2 ) :}$


Te l'ho calcolata perché hai sbagliato a farlo tu....ma non è richiesto dalla traccia, perché l'hai calcolata?

La densità di $Z=1/T$ si calcola, partendo dalla $f_T(t)$ con il teorema fondamentale di trasformazione, anche a mente

$f_Z(z)={{: ( 3/z^2-3/(2z^3) ,; 1/2<=z<3/4 ),( 3/(4z^3) , ;z>=3/4),(0 , ;"altrove") :}$


Nulla vieta di calcolare la CDF di T, poi quella di Z poi derivare....ma miiiiiii è un giro dell'oca



EDIT: ops, forse il nucleo della tua FdR è giusta, ma rimane errata; $F_T(3)=1$ mentre a te viene $F_T(3)=0$

[matte.c]

si scusa per la FdR che ho copiato scritta PDF senza aggiungere intervallo $1 if t>2$ e modificare intervallo $ t<0$.
Infatti io applicavo il teorema facendo però ogni passaggio creando un giro infinito ed errori di calcolo.
Grazie per risposta ora tornano anche estremi.
Grazie