Covarianza e indipendenza

[cla29]

Buongiorno,

ho un dubbio sulla nozione di indipendenza per due variabili casuali che hanno covarianza nulla. Tutti i libri dicono chiaramente che due variabili indipendenti sono con covarianza nulla, ma non necessariamente viceversa. Dunque la covarianza nulla non garantisce l'indipendenza. Il mio dubbio nasce quando esamino la formula della covarianza: $ COV=E(XY)-E(X)E(Y)=0 $ dunque $ E(XY)=E(X)E(Y) $ ma questa relazione, non implica anche che le probabilità si moltiplichino: $ P(XY)=P(X)P(Y) $ .

Se apro il libro leggo: "gli eventi X e Y sono indipendenti se $ P(Xnn Y)=P(X)P(Y) $ altrimenti essi sono dipendenti." a questo punto concluderei che la covarianza soddisfa la condizione di moltiplicazione delle probabilità che mi assicura l'indipendenza: $ P(Xnn Y)=P(XY)=P(X)P(Y) $ .

Anche se sapessi a priori della dipendenza tra X e Y, il ragionamento di sopra non rimarrebbe comunque in piedi? forse la definizione di indipendenza che leggo non è abbastanza forte?

Grazie del vostro tempo e cordiali saluti.

[cla29]

Porto la mia domanda ad un linguaggio meno formale. Quello che non capisco è: se la condizione necessaria e sufficiente per avere indipendenza è la moltiplicazione delle probabilità ed essa risulta soddisfatta nel caso di cov=0, perchè non segue il viceversa?

[cla29]

Vi ringrazio. Ora ho capito!