Stimatori ed errore quadratico medio

[anonymous_f3d38a]

Ciao a tutti.
"Si consideri un campione iid $(X_1,X_2,X_3)$ selezionato da una popolazione per la quale il valore atteso è $E(X)= 0,8$ e $Var(X) =0,4$.

Si considerino i due stimatori $T_1$ e $T_2$

$T_1= (X_1 + X_2)/2$

$T_2= (X_1 + X_2+ X_3)/3$

si dica quale dei due stimatori è migliore e perché."

Io ho scritto:

per $T_1$

$E(T_1) = E((X_1 + X_2)/2) = 0,8$

$Var(T_1)= Var((X_1 + X_2)/2)= (0,4)/2= 0,2$

per $T_2$

$E(T_2) = E((X_1 + X_2+X_3)/3) = 0,8$

$Var(T_2)= Var((X_1 + X_2+X_3)/3)= (0,4)/3= 0,133$

...Ora che ho fatto tutti i calcoli....
per ogni stimatore, l'errore quadratico medio $MES$ è uguale a

$MES(T)= Var(T) + (E(T)-mu)^2$

Dal momento che $MES(T_2)= 0,133$ e $MES(T_1)= 0,2$

e quindi $MES(T_2)<MES(T_1)$, giungo alla conclusione che è migliore lo stimatore $T_2$.

Siete d'accordo? Pensate che abbia detto qualche cavolata?

[tommik]

Ciao a tutti.
"Si consideri un campione iid $(X_1,X_2,X_3)$ selezionato da una popolazione per la quale il valore atteso è $E(X)= 0,8$ e $Var(X) =0,4$.

Si considerino i due stimatori $T_1$ e $T_2$
Pensate che abbia detto qualche cavolata?

tu no ma il testo del problema diverse...

1) $T_1$ e $T_2$ sono stimatori....ma di cosa? della media della popolazione, immagino, visto che entrambi sono medie campionarie (occorre dirlo, non è un opscional)

2) Se la media della popolazione è nota cosa c'è da stimare??

Mettiamola così:

consideriamo un campione ecc ecc estratto da una popolazione per la quale media e varianza sono rispettivamente $mu;sigma^2$

Vogliamo stimare la media della popolazione ed a tal proposito usiamo i due stimatori di cui sopra; Qual è lo stimatore preferibile?

Così va meglio

[anonymous_f3d38a]

consideriamo un campione ecc ecc estratto da una popolazione per la quale media e varianza sono rispettivamente $mu;sigma^2$

Vogliamo stimare la media della popolazione ed a tal proposito usiamo i due stimatori di cui sopra; Qual è lo stimatore preferibile?

Così va meglio

Sì in effetti il testo dell'esercizio è un po' vago.
L'ho trovato alla fine di alcune slide sugli stimatori.

Appurato comunque ciò che hai precisato te, mi confermi che $T_2$ è migliore di $T_1$ perché
$MES(T_2)<MES(T_1)$ ?

[tommik]

sì va beh ma non servono conti....

I due stimatori della media sono $T_1=bar(X)_2$ mentre $T_2=bar(X)_3$

Quindi sono entrambi non distorti dato che la media della media campionaria è la media della popolazione. Per confrontarli è dunque sufficiente confrontare le due varianze che sono entrambe

$sigma^2/n$

e quindi è preferibile quello con $n$ maggiore, ovvero $T_2$

non sei d'accordo?

[anonymous_f3d38a]

esatto, perché $bar(X)$ come $N(mu, sigma^2/n)$

ti ringrazio, chiarissimo!

[tommik]

Non proprio... la media campionaria ha una sua distribuzione che va calcolata. Quello che dici tu è un risultato asintotico.

Prova ad esempio a prendere una popolazione distribuita come una uniforme in $(0;1)$ e calcola la distribuzione di $bar(X)_2$. Vedrai che non è una normale

[anonymous_f3d38a]

Non proprio... la media campionaria ha una sua distribuzione che va calcolata. Quello che dici tu è un risultato asintotico

E' scorretto utilizzarlo con $n$ "grande"?
Ovviamente l'aggettivo "grande" va definito bene a seconda dei casi.