mistura di Gaussiane - pdf

[tommik]

Salve a tutti.
Ho una pdf gaussiana \( \displaystyle f_{X}\left(x_1;g\right) \) calcolata in un punto $x_1$ fissato che mi serve per una MLE.
La media di questa gaussiana è la somma di un parametro $g$ che devo stimare e di un parametro $q$ che è una realizzazione non nota a priori di una variabile aleatoria di Bernoulli $Q$ che può valere $k$ con probailità $p$ o $0$ con probabilità $1-p$. È corretto dire che:

\( \displaystyle f_{X|Q} \left(x_1;g\right) = p \cdot f_{X|Q=k} \left(x_1;g\right) + (1-p) \cdot f_{X|Q=0} \left(x_1;g \right) \)

usando quindi il teorema della probabilità totale?

[tommik]

Quella che hai scritto al membro di destra sembra una densità congiunta mentre al membro di sinistra ci hai messo una densità condizionata

Potrebbe essere una buona idea quella di scrivere il testo completo dell'esercizio in modo da poterci ragionare e capire esattamente che cosa vuoi

[Sling]

In realtà non sto seguendo nessun esercizo.
Ero partito da un banale esempio sulla MLE: ho un random sample di $n$ gaussiane $X_i$ IID con media $\mu$ deterministico incognito e varianza nota $\sigma^2$. In questo caso la funzione di likelihood per il parametro $\mu$ sarà:

\( \displaystyle \mathcal{L}_{\mathbf{X}}(\mu)= \prod_{i=1}^n f_{X_i}(x_i;\mu) \)

In un caso reale avrò fissate le mie osservazioni $x_i$ e facendo variare la funzione di likelihood per tutti i possibili valori di $\mu$ trovo quello che la massimizza e quindi la stima della media.

Se però la media $\mu$ delle normali è composta da $\mu = g + q$ dove $g$ è un parametro deterministico che voglio stimare con la likelihood mentre $q$ è un termine di disturbo realizzazione di una v.a. $Q$ descritta come prima come va modificata la pdf i-esima per tenere conto di questo?
Siccome le pdf sono ora condizionate alla v.a. $Q$ che può assumere solo due valori ho pensato di usare il teorema della probabilità totale.
La notazione che ho usato prima è orrenda, quello che intendevo era:

\( \displaystyle f_{X_i|Q_i=k}(x_i;g) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\dfrac{(x_i-(g+k))^2}{2 \sigma^2}} \)
\( \displaystyle f_{X_i|Q_i=0}(x_i;g) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} e^{-\dfrac{(x_i-(g+0))^2}{2 \sigma^2}} \)

Spero di essere stato un po' più chiaro.

[tommik]

sì chiaro, va sostanzialmente bene. Suggerisco comunque di evitare di inventarsi esercizi dato che sul forum ce ne sono già parecchi su qualunque argomento

Esempi che ti possono essere sicuramente utili

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[Sling]

Grazie per la risposta. Avevo provato a cercare altri esempi sul forum ma evidentemente non avevo usato le keyword giuste.
Per la notazione quale sarebbe quella corretta per indicare la pdf condizionata?