Data la v.a. $Z=X-1/2 Y$ dove $X$ ed $Y$ sono v.a. congiuntamente gaussiane tali che $X ~ N(0, 2)$ e $Y ~ N(0, 1)$ e $rho_(XY)=0.4$ si calcoli la matrice di covarianza $C_(XY)$, la PDF della v.a. Z e $P(Z>0)$
$1) $Matrice di covarianza
Per quanto riguarda la matrice di covarianza, sapendo che: $| ( sigma_X ^2 , rho sigma_X sigma_Y ),( rho sigma_X sigma_Y , sigma_Y ^2 ) | $
e sapendo che $rho = (Cov(X,Y))/(sigma_X sigma_Y)$ mi ricavo la covarianza e la matrice avrà i seguenti valori: $| (2 , 0.565),( 0.565 , 1) | $
$2)$ PDF della v.a. Z
Passiamo al punto "dolente"... Sapendo che la PDF di due v.a. congiuntamente gaussiane è data da:
$f_(XY)(x,y) = 1/(2pi sigma_X sigma_Y sqrt(1-rho^2)) EXP {- 1/(2(1-rho^2)) *[(x- mu_X)^2 /sigma_X ^2 -2rho ((x- mu_X)(y- mu_Y)) / (sigma_X sigma_Y) + (y- mu_Y)^2 /sigma_Y ^2]}$
sostituisco i valori che ho a disposizione ed ottengo:
$f_(XY)(x,y) = 1/(2pi sqrt(2(1-0.16))) EXP {- 1/(2(1-0.16)) *[(x- 0)^2 /2 -2*0.4 ((x- 0)(y-0)) / (1*sqrt(2)) + (y- 0)^2 /1]}$
E qui mi sono bloccato... come si procede? Ho svolto un altro passaggio sul quaderno nel quale svolgo i quadrati e qualche moltiplicazione ma non so se sia la strada giusta... Cosa mi consigliate di fare? E' possibile che lo svolgimento possa ritenersi concluso qui?
Grazie come sempre
grazie e al prossimo dubbio