Somma di due uniformi

[4xy]

Buongiorno,
ho un esercizio sulla somma di due variabili uniformi ed indipendenti che non riesco ad impostare oltre un certo punto. L'esercizio dice:

Siano $X~Un[0,1]$ e $Y~Un[0,2]$ e zia $Z=X+2Y$. Calcolare la funzione di densità di $Z$.

Dunque, io ho proceduto in due modi: uno prettamente analitico che mi ha portato a risultati sbagliati e l'altro geometrico (con l'analisi del rettangolo $[0,1]$x$[0,2]$).

Prima di tutto ho notato che $0 leq Z leq 5$. Dal momento che $Y=frac{Z-X}{2}$ allora, essendo $0 leq Y leq 2$, vale anche $0 leq frac{Z-X}{2} leq 2$, cioè $0leqZ-Xleq4$, cioè $Z-4 leq X leq Z$.
Ora questo significa che $max(0,Z-4)leqXleqmin(1,Z)$. Credo, finora, di non aver commesso errori. Ora, però, quello che mi manca, credo, è un metodo per procedere: il mio problema è determinare in quali intervalli varia $Z$ (so bene che graficamente si vede subito facendo muovere la retta nel rettangolo, ma io vorrei per ora attenermi a questo modo di procedere). Ho continuato così:
$max(0,Z-4)=0 Leftrightarrow Z<4$ mentre $max(0,Z-4)=Z-4 Leftrightarrow Z geq 4$.
Allo stesso modo:
$min(1,Z)=Z Leftrightarrow Z<1$ mentre $min(1,Z)=1 Leftrightarrow Z geq 1$.
Credo a questo punto che io debba considerare tre casi:
I) $0leqz<1$
II) $1leqz<4$
III) $4leqz<5$
Ma a questo punto non so come proseguire, perché non so come trattare questi estremi, in particolar modo non so come far variare la $X$ nel secondo caso ($1leqz<4$).

Quanto al metodo geometrico, qualche anima gentile si prodigherebbe per farmi vedere il procedimento? Ho notato solo che:
I) per $0leqz<1$ ho l'area di un triangolo rettangolo di lati $z$ e $frac{z}{2}$, per cui l'area è $frac{z^2}{4}$
II) per $1leqz<4$ ho, all'aumentare di $z$, un parallelogramma di lato $frac{z-1}{2}$ e altezza costante pari a $h=1$, per cui l'area dovrebbe essere quella del parallelogramma più l'area intera del triangolino sottostante (dovrebbe essere $0.25$), vale a dire: $frac{z}{2}-frac{1}{4}$. Tuttavia questo valore mi sembra sbagliato, perché per alcuni valori di $z$, per esempio per $z=3$, ottengo che la fdr è maggiore di 1...
III) per $4leqz<5$ ho ragionato in termini di complementarietà. Ho trovato che il triangolo superiore, al variare di $z$, ha lati pari a $5-z$ e $frac{5-z}{2}$, per cui la ripartizione in quest'intervallo dovrebbe valere $1-frac{(5-z)^2}{4}$.

Insomma, mi interesserebbe soprattutto il primo metodo analitico, ma anche capire cosa sbaglio e acquisire un metodo univoco per risolvere questo tipo di esercizi. Vi ringrazio.

[tommik]

Insomma, mi interesserebbe soprattutto il primo metodo analitico

E' quasi immediato: Ponendo $U=X$ la densità congiunta¹ di $Z,U$ è

$f_(ZU)(z,u)=1/4mathbb{1}_([0;1])(u)mathbb{1}_([u;u+4])(z)$

Integri in $U$ e trovi subito la densità richiesta

$f_Z(z)={{: ( z/4 ,;0<=z<1 ),( 1/4 , ;1<=z<4 ),( (5-z)/4 , ;4<=z<=5 ),( 0 , ;" altrove" ) :}$

fine del problema.

Quanto al metodo geometrico, qualche anima gentile si prodigherebbe per farmi vedere il procedimento?

Qui, fra l'altro, hai dimenticato di moltiplicare l'area per la densità congiunta $f(x,y)$ . La FdR richiesta è


$F_Z(z)={{: ( 0 , z<0 ),( z^2/8 , ;0<=z<1 ),( 1/8+(z-1)/4 , ;1<=z<4 ),( 1-(5-z)^2/8 , ;4<=z<5 ),( 1 , ;z>=5 ) :}$


Derivi rispetto a $z$ e trovi, ovviamente, la stessa densità

mi interesserebbe anche acquisire un metodo univoco per risolvere questo tipo di esercizi.

Non si può. Hai diversi metodi a disposizione (non solo quelli che hai citato tu), a volte è meglio uno a volte l'altro. In questo caso è più veloce il primo metodo.

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Note

1. invocando il teorema fondamentale di trasformazione ↑

[4xy]

Ti ringrazio, tommik!