Esercizio Poisson Process

[Babochka]

Avrei bisogno di un parere esterno su questo esercizio che mi ha proprio bloccato.

"Prendiamo un Poisson process $ {N(t),t∈[0,∞)} $ con rate lambda. Risolvete calcolando la probabilità del verificarsi di 2 arrivi nell'intervallo (0,2] OR 3 arrivi nell'intervallo (4,7]"

Sapendo che il numero di arrivi in ogni intervallo di lunghezza $ tau > 0 $ e che quindi segue distribuzione di Poisson ho utilizzato come riferimento la formula $ P{N(t)= k} = ((e^(-λt))*(λ*t)^k)/(K!) $

Noto anche che da problema mi viene richiesto non un'intersezione (AND) bensì un insieme (OR) quindi il ragionamento mi porta a pensare alla probabilità totale di due eventi non mutualmente esclusivi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi ergo
$ P (E1 or E2) = P(E1) + P(E2)- (P(E1 and E2) $
Siccome i processi di Poisson sono senza memoria, gli eventi che si verificno in intervalli disgiunti sono indipendenti quindi potremmo riscrivere:
$ P (E1 or E2) = P(E1) + P(E2)- (P(E1)*P(E2)) $

Quindi calcolo la probabilità dell'evento 1 (2 arrivi in (0,2]
$ P{N(2)= 2} = ((e^(-λ2))*(λ*2)^2)/(2!) $

così come dovrebbe valere per l'evento 2 (3 arrivi in (4,7]
$ P{N(3)= 3} = ((e^(-λ3))*(λ*3)^3)/(3!) $

Poi pensavo di moltiplicare le due probabilità per calcolare $ (P(E1 and E2) $ ma qualcosa non sembra funzionare.
Infatti nella soluzione fornitami c'è più che una discordanza che non capisco.

La soluzione è la seguente:
$ [(e^(-λ2))*(λ*2)^2]/(2!) + ((e^(-λ3))*(λ*3)^2)/(3!) - ((e^(-λ5))*(λ*36)^5)/(2!3!) $

Nel secondo addendo non capisco perchè l'elevazione al quadrato invece che al cubo ma soprattutto non capisco come è stato ottenuto il terzo addendo che dovrebbe rappresentare l'intersezione. Qualche idea per confrontarsi in merito sarebbe caldamente benvenuta, ci ho riflettuto molto ma non capisco cosa sto sbagliando. Grazie

[ghira]

Condivido le tue perplessità. Nel secondo addendo il quadrato invece del cubo è un chiaro errore, e il terzo addendo mi pare veramente incomprensibile.

Secondo me qualcuno ha moltiplicato $2^2$ per $3^2$ e poi ha lasciato il prodotto dentro le parentesi per sbaglio. E $3^2$ è un errore. Ma per qualche motivo hanno elevato le parentesi alla quinta e non alla quarta quindi non sono nemmeno coerenti con l'errore. Bel casino.