verosimiglianza: domanda per esperti - statistica magistrale

[daviderossiadc]

Qualcuno sa risolvere questo problema?
ho ragionato sul fatto che una somma di geometriche è una binomiale negativa, ma non credo sia corretto.
Non riesco a scrivere la verosimiglianza, non mi torna del tutto il mio ragionamento...qualcuno riesce a risolverlo?

[tommik]

Non è una domanda per esperti; al contrario mi pare una richiesta del tutto banale.

Senza stare a fare troppe pippe mentali, la verosimiglianza è questa (tutto ciò che non dipende da $theta$ si considera costante e non ci serve: la verosimigianza è determinata a meno di costanti moltiplicative...e ciò semplifica di molto il lavoro)

$L(theta) prop theta^s (1-theta)^m$

dove $s$ sta per "numero di alberi sani nella fila" mentre $m$ sta per "numero di alberi malati nel totale della fila".

Quindi ti basta individuare da quanti alberi è composta la fila¹ e quanti alberi sani ci sono dentro.

La prossima volta, per favore, rispetta le regole...

1) è vietato inserire immagini al posto del problema: il testo va scritto esplicitamente e con l'uso delle formule

2) è obbligatorio inserire SEMPRE una bozza di soluzione del problema: il forum non è un servizio di consulenza gratuito per la risoluzione dei TUOI problemi

... altrimenti non ti approvo il messaggio.

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Note

1. che ovviamente non è 100 ma è... ↑

[daviderossiadc]

Grazie della risposta e scusa per l’immagine.
Più tardi riprovo a scrivere gli ulteriori dubbi usando le formule.

Per quanto riguarda la verosimiglianza il problema è proprio come inserire i dati delle frequenze all’interno della stessa.

50 x 2 malati = 100 malati + 0 sani (o 50x1 malati?!)
23x2 malati + 23 sani
14x2 malati + 14x2 sani
8x2 malati + 8x3 sani
5x2 malati + 5x >=4? Questo come lo inserisco?

Malati tot: 200
Sani tot: ??
Tot alberi della fila ??

[tommik]

mah...

Primo punto: il numero esatto della fila non si può sapere perché i dati sono parzialmente accorpati....dalla tabella riassuntiva dei dati non sappiamo cosa in realtà significhi $>=4$.

Ti faccio un esempio: Una delle possibili realizzazioni campionarie potrebbe essere questa

Sani fra due malati	0	1	2	3	4	5	6	7
Freq	50	23	14	8	2	1	1	1

Come spesso accade in Statistica (dovresti saperlo visto che fai già la magistrale) frequenze molto ridotte vengono accorpate (vedi ad esempio il test chi-quadro¹)

Però si nota subito come le frequenze siano molto molto decrescenti al crescere di S ed è alquanto improbabile che si vada oltre 6/7 alberi sani consecutivi. Quindi qui dobbiamo fare per forza una scelta: scegliamo² di porre il $>=4$ come $S=5$ e la cosa non ci disturba più di tanto....

Ora la tua tabella diventa

S	0	1	2	3	5
Freq	50	23	14	8	5

A questo punto ragioni:

Per avere zero sani fra due malati devi avere una sequenza così $"MMMMMM$
Per avere 2 sani fra due malati consecutivi devi avere una sequenza così $"SSM"-"SSM"$

Quindi il totale degli alberi è questo

$50xx1+23xx2+14xx3+8xx4+5xx6=200$ più 1 perchè la fila deve iniziare e finire con un malato.

I totali dei sani sono $1xx23+2xx14+3xx8+5xx5=100$

In definitiva la tua verosimiglianza è

$L(theta) prop theta^100(1-theta)^101$

^^^^^^^^^^^^^^^
Se si fatica a fare questi semplici ragionamenti, è opportuno iniziare con degli insiemi più ridotti, ad esempio

Sani	0	1	2	3
Freq	4	3	2	1	tot=10

1) proviamo a mettere giù un esempio (uno qualunque, ma ne puoi provare quanti ne vuoi) che rispetti i vincoli del testo

$"M-M-M-M-M-S-M-S-M-S-M-S-S-M-S-S-M-S-S-S-M"$

ci sono 21 alberi in totale con 10 sani


2) Verifichiamo che il precalcolo del numero totale di alberi sia corretto:

$4xx1+3xx2+2xx3+1xx4+1=21$ alberi totali, di cui sani

$1xx3+2xx2+3xx1=10$

le formule che abbiamo costruito sono corrette.

Fine del problema

---

Note

1. Anzi potresti anche provare a fare un test chi quadro per vedere se la tua distribuzione è davvero una geometrica.... ↑
2. non è vietato fare scelte diverse ma il tutto va spiegato in modo sostenibile ↑

[tommik]

ciao! sto provando a fare questo esercizio e non mi trovo con la semplificazione della verosimiglianza


a me viene $theta^(sum_i y_i)*(1-theta)^n$

è sbagliato? manca qualcosa da semplificare?
scusate l'impostazione delle formule, ora vado a studiarmi come si fa perchè ho provato e nell'anteprima mi resta il codice tipo latex

[verovev]

in pratica io ho fatto come in questo post
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... za#p901553

ma non so come equiparare la verosimiglianza ottenuta come in quel post con quella che avete trovato qui

[tommik]

Grazie della risposta.
Non ho capito come hai fatto, dalla distribuzione Geometrica data dal testo, a ricondurti alla verosimiglianza che hai scritto (o meglio: come si giustifica?!)
Io mi sono dato questa spiegazione:
se ho $P(Y=k)=theta^k*(1-theta)$ vuol dire (molto volgarmente) che "devo avere k sani per 1 malato",
e quindi, espandendo il ragionamento, $L(theta) prop theta^s*(1-theta)^m$ ovvero, "devo avere s sani per avere m malati"?!

Non si potrebbe, invece, risolvere il problema utilizzando una multinomiale, con la probabilita di "cadere in una classe" del tipo:

$P(Y=0)=(1-theta)$
$P(Y=1)=theta*(1-theta)$
$P(Y=2)=theta^2*(1-theta)$
$P(Y=3)=theta^3*(1-theta)$
$P(Y>=4)=1- [(1-theta)+theta*(1-theta)+theta^2*(1-theta)+ theta^3*(1-theta)]$

e perchè, in caso , non si può fare in questo modo?

[tommik]

Non ho capito come hai fatto, dalla distribuzione Geometrica data dal testo, a ricondurti alla verosimiglianza che hai scritto (o meglio: come si giustifica?!)
Io mi sono dato questa spiegazione:
se ho $P(Y=k)=theta^k*(1-theta)$ vuol dire (molto volgarmente) che "devo avere k sani per 1 malato",
e quindi, espandendo il ragionamento, $L(theta) prop theta^s*(1-theta)^m$ ovvero, "devo avere s sani per avere m malati"?!

Ho fatto esattamente così...non faccio il prof di mestiere, sono solo un signore anziano appassionato della materia ma mi sembra un approccio corretto.
Il modello è geometrico e lo dice il testo (su questo non ci piove). Tu stesso hai detto (correttamente ) che la somma di geometriche è una binomiale negativa. La densità della binomiale negativa è questa

$((f+s-1),(f))theta^s(1-theta)^f$

$f=0,1,2,....$

dove indico con $f$ i fallimenti e con $s$ i successi.

La prima parte della densità non l'ho considerata in quanto non dipende da $theta$ e mi sono limitato a tenere buona l'altra e contare quanti alberi ci sono sani e quanti malati.

La fila è fatta da 201 alberi, 100 sani (con probabilità $theta$, lo dice il testo) e 101 malati

Quindi in definitiva $L=theta^100(1-theta)^101$

Non vedo perché devi cercare soluzioni con distribuzioni che non c'entrano con la traccia.

Anche se un po' più avanzati, potresti guardare gli esempi che ho messo in Questo tutorial. Ci sono molti esempi simili al tuo (risolti in modo bayesiano, non classico) ma se non ho capito male, dall'esercizio che hai postato, presto li vedrai nel dettaglio
Aldilà delle soluzioni bayesiane (che magari non ti interessano) gli esercizi sono molto formativi per quanto riguarda l'impostazione delle verosimiglianze e necessitano di un certo ragionamento "avanzato" nella comprensione del testo, proprio come il tuo esercizio.

Vedo con piacere che hai inserito le formule in modo leggibile ed adatte ad un forum di matematica....magari l'ultimo appunto: evita di citare tutto un lungo messaggio per non appesantire la lettura del post....

alla prossima.

Nota: in questo periodo sono in atto dei sostanziali cambiamenti sulla piattaforma del forum per cui ci saranno dei disservizi nel collegamento....portate pazienza che tutto si risolverà presto

saluti

[daviderossiadc]

Grazie. Tutto chiaro.

Ho visto gli esercizi e sono in parte esercizi che abbiamo da fare per il nostro corso, li avevo svolti ma alcune cose non mi erano chiare, quindi sicuramente andrò a riguardarmeli con le tue soluzioni, grazie mille.

Credo che il mio grande problema sia capire le cose, e “sganciarmi” dal metodo di fare cose “perché si fanno così”, ma piuttosto devo esercitarmi a capire i ragionamenti e le richieste degli esercizi/problemi.