Quesito su distribuzioni

Messaggioda cionilorenzo » 24/05/2020, 14:32

Ciao
volevo sapere se:
1 dati i valori $min$, $max$ e $mediana$ di una distribuzione triangolare ne è possibile ricavare la moda,
2 se di una distribuzione normale sono noti il 5° e 95° percentile si può affermare che la media è la semisomma dei due. Che si può dire della deviazione standard? C'è modo di ricavarla per via analitica o si deve passare dalla normale standardizzata e quindi per via grafica?
Scusate la potenziale banalità dei quesiti.
Grazie.
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda tommik » 25/05/2020, 10:30

1) no, servono altre informazioni


2) Sì ma è una cosa utile solo per esercizio. Conoscendo due percentili qualunque trovi immediatamente $mu$ e $sigma$

Per dimostrare che la media è la semisomma dei due percentili è davvero banale.

Indico con $A$ il 5° percentile e con $B$ il 95° percentile (noti per ipotesi).

Allora subito abbiamo

${{: ( (A-mu)/sigma=-1.64 ),( (B-mu)/sigma=1.64 ) :} rarr{{: ( A-mu=-1.64sigma ),( B-mu=1.64sigma ) :}$

sommo membro a membro e risolvo in $mu$ ottenendo subito

$mu=(A+B)/2$

...ma ripeto è una cosa inutile perché risolvendo il sistema trovi subito sia media che deviazione standard

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda cionilorenzo » 25/05/2020, 12:01

si, sono io, è grave? :D :-D
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda tommik » 25/05/2020, 12:42

Cambio la mia risposta 1)

direi di sì.....con qualche ragionamento si può fare :wink:

Se ti interessa ti indico come fare....non ho voglia di fare tutti i conticini
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda cionilorenzo » 25/05/2020, 12:47

Ciao tommik
grazie della risposta. Scusa ma sono un po' de coccio...
Se $m$ è la mediana allora so che l'area sotto la distribuzione a destra di $m$ è uguale a quella alla sinistra e pari a $0.5$. Se in più so che $m$ non è la semisomma di $max$ e $min$ della distribuzione so che $m$ non coincide con la moda. A questo punto l'indeterminatezza sta nel fatto che posso avere moda$>m$ e moda$<m$ e non ho modo di andare oltre ovvero di calcolare il valore della moda. Corretto?
Grazie di nuovo.
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda cionilorenzo » 25/05/2020, 12:48

tommik ha scritto:Cambio la mia risposta 1)

direi di sì.....con qualche ragionamento si può fare :wink:

Se ti interessa ti indico come fare....non ho voglia di fare tutti i conticini

mi interessa, dammi almeno qualche dritta.... :D :D
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda tommik » 25/05/2020, 12:52

1) Se la mediana coincide con il punto medio $ (a+b)/2$ allora la distribuzione è simmetrica e la moda coincide con media e mediana

2) se la mediana è minore del punto medio vuol dire che la distribuzione è asimmetrica positiva, cioè la moda è minore della mediana. A questo punto sai che l'area alla destra della mediana (che vale comunque $1/2$) è data dall'area sotto una retta (è un triangolo)....e molto banalmente ti calcoli la retta. A questo punto mi sembra facile risalire alla moda avendo già una parte analitica della densità...

3) se la mediana è maggiore del punto medio stesso discorso, in modo speculare....


se vuoi mettiamo giù un esempietto ma in realtà sono conti davvero banali...è più difficile spiegarlo che risolvere
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda cionilorenzo » 25/05/2020, 16:19

Perfetto, grazie. :smt023 Vedo se ci riesco da solo e ti faccio sapere, buona serata.
Lorenzo
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda tommik » 25/05/2020, 16:43

Ti faccio un esempio da seguire passo-passo.

Prima di tutto, senza perdita di generalità, possiamo considerare che il minimo punto del supporto sia sempre 0. Ciò semplifica di molto i calcoli e, anche se non fosse così, basterebbe una traslazione per riportare il minimo a zero.

Quindi supponiamo di avere

Una distribuzione triangolare continua definita in $x in [0;2]$ con mediana $me=(4-sqrt(6))/2$
Calcolare la moda


Osserviamo che la mediana è circa $0.78$ che è minore del punto medio 1 e quindi la moda è "a sinistra" della mediana.

Sapendo che l'area a destra della mediana è $1/2$ e che la figura a destra della mediana è un triangolo di vertici

$((4-sqrt(6))/2;0)$

$(2;0)$

$((4-sqrt(6))/2;y)$

trovi subito $y$. Ora con la formula della retta che passa per due punti assegnati trovi anche l'equazione della retta che è

$y=4/3-2/3x$

Immediatamente vedi che TUTTA l'area sotto tale retta nel dominio assegnato è $(2xx4/3)/2=4/3>1$

Significa che bisogna scartare il triangolo di sinistra di area $1/3$ e di vertici $(0;0)$; $(0;4/3)$;$(m;y)$

in altri termini la moda si trova risolvendo in m la seguente equazione ($y$ non serve calolarlo)

$(4/3xx m)/2=1/3 rarr m=1/2$

fine

:smt039
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Re: Quesito su distribuzioni

Messaggioda cionilorenzo » 25/05/2020, 16:54

Dunque. Siano:
$a$, $b$, $c$, e $m$ rispettivamente minimo, massimo, moda e mediana della distribuzione, tutti noti tranne $c$ e sia $m<(a+b)/2$ per cui $c<m$.
Se considero il triangolo di vertici $(a,0)$, $(c,h)$ e $(b,0)$ ricavo $h$ imponendo che la sua area sia uguale a $1$.
Se considero il triangolo di vertici $(m,0)$, $(m,k)$ (con $k$ intersezione della verticale per ($m,0)$ e la retta fra $(c,h)$ e $(m,0)$) e $(b,0)$ ricavo $k$ imponendo che la sua area sia uguale a $1/2$.
Se faccio la similitudine fra questo triangolo e il triangolo di vertici $(c,0)$, $(c,h)$ e $(b,0)$ posso impostare la seguente relazione
$(b-m):k=(b-c):h$
da cui ricaverei $c$. Il problema è che assegnando dei valori ai termini noti mi viene $c<0$.....
Sto sbagliando qualcosa ma non capisco cosa :roll: :o ... help!!!
Lorenzo
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