Pdf di una funzione di due variabili aleatorie

[submarine]

Ciao a tutti, scrivo per la prima volta e spero di rispettare le regole del forum.

L'esercizio che sto tentando di risolvere chiede di determinare, utilizzando l'equazione dell'antimmagine, la pdf della seguente trasformazione:

\(\displaystyle Z = X - Y \)

dove $X$ e $Y$ sono due variabili aleatorie continue con pdf assegnata. A questo punto si tratta di applicare la definizione di pdf, quindi:

$lim_(\Deltaz->0)(P_Z(A))/(\Deltaz)$

Utilizzando l'equazione dell'antimmagine si può calcolare $P_Z(A)$ come $P_(XY)(B)$, dove $B$ è l'antimmagine di $A$, cioè $(z, z + \Deltaz]$ :

$B = {(x,y) in RR^2 : x - y in (z, z + \Deltaz]}$

Fino a qui ci siamo. Con la parte analitica ho qualche dubbio, in particolare:

1. Quali sono gli estremi di integrazione dell'integrale per definire la $P_Z(A)$?
2. Una volta definita la pdf per questa trasformazione, qual è il procedimento per due variabili iid $U(0, 1)$.

[tommik]

Ciao a tutti, scrivo per la prima volta e spero di rispettare le regole del forum.


Fino a qui ci siamo. Con la parte analitica ho qualche dubbio, in particolare:

1. Quali sono gli estremi di integrazione dell'integrale per definire la $P_Z(A)$?
2. Una volta definita la pdf per questa trasformazione, qual è il procedimento per due variabili iid $U(0, 1)$.

Sì, hai rispettato tutte le regole, benvenuto. Anche per te, un avviso: in questi giorni stiamo facendo dei grossi cambiamenti sulla piattaforma quindi ci potrebbero essere dei disservizi....porta pazienza.


1. Gli estremi di integrazione vanno trovati ragionando

2. definiamo il seguente sistema con la variabile in oggetto ed una variabile ausiliara (di comodo)

${{: ( z=x-y ),( u=x ) :} rarr {{: ( x=u ),( y=u-z ) :}$

la densità congiunta è la stessa $f_(XY)$ calcolata nei nuovi punti $u,z$ per lo Jacobiano (che qui viene uno...), esattamente come avrai fatto decine e decine di volte nel cambio di variabili in un integrale

Quindi $f_(UZ)(u,z)=1$

L'unica difficoltà è quella di capire gli estremi di integrazione ma è abbastanza evidente che deve essere


$0<u-z<1$

facendo un grafico di questa doppia disuguaglianza e considerando che abbiamo $u=x in (0;1)$ mentre $z=x-y in (-1;1)$ otteniamo come supporto per $(u,z)$ un parallelogramma di vertici

$(-1;0)$;$(0;0)$;$(1;1)$;$(0;1)$

Quindi la tua densità congiunta viene

$f_(UZ)(u,z)=mathbb{1}_((0;1))(u)mathbb{1}_((u-1;u))(z)$

Per trovare la densità di Z occorre integrare in u. A tale scopo conviene scrivere la densità nel seguente modo

$f_(UZ)(u,z)=mathbb{1}_((-1;0])(z)mathbb{1}_((0;z+1))(u)+mathbb{1}_((0;1))(z)mathbb{1}_((z;1))(u)$

A questo punto è immediato integrare in u (gli estremi sono scritti nelle indicatrici) ed ottenere subito

$f_Z(z)=[1-|z|]mathbb{1}_((-1;1))(z)$

Cioè un triangolo

[submarine]

Grazie per la risposta prima di tutto.

Il metodo di risoluzione che utilizzi si basa sul teorema fondamentale sulle trasformazioni di vettori aleatori.
Cosa cambia rispetto all'applicazione dell'equazione dell'antimmagine?

Per quanto riguarda l'espressione della pdf che ottieni qual è il procedimento a monte una volta noto il supporto?

[tommik]

Non cambia nulla. Con il teorema fondamentale di trasformazione trovi subito la densità...altrmenti devi passare per la CDF.

La trasformazione di cui stai parlando è stata risolta sul forum n volte....puoi usare la funzione cerca per fartene un'idea.

Parti dalla definizione della nuova CDF

$F_Z(z)=mathbb{P}[Z<=z]=mathbb{P}[Y>X-z]$

fai un disegno, vedi che la retta parametrica in $z in (-1;1)$ passando nel quadrato unitario $(0;1)xx(0;1)$ copre determinate aree del dominio. Integri la densità congiunta $f_(XY)$ in quelle aree ed hai finito. Per quanto riguarda le tue uniformi indipendenti gli integrali non servono perché si tratta solo di calcolare quelle aree parametriche in z.

saluti

[Gughigt]

@tommik

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Ennesima dimostrazione che sei un “russo”.

Buon week-end!