Matematicamente.it

Sto avendo difficoltà a capire un passaggio di questa dimostrazione (per brevità riporto solo il passaggio e non tutta la dimostrazione):

Teorema: Sia $\{\mathsf X\}_{n\in\mathbb N}$ una DTMC omogenea, la sua matrice di transizione e $\mathsf S$ il suo spazio degli stati; sia$i,j\in\mathsf S| i \leftrightarrow j$, allora $f_{ij} = 1$

Dimostrazione: Sia $m\in\mathbb N | P_{ji}^{(m)} > 0$. Allora

$$1 = f_{jj} = \mathbb P\big( \mathsf X_n = j \text{ per infiniti } n| \mathsf X_0 = j \big) \\= \mathbb P( \mathsf X_n = j \text{ per qualche } n > m \;\big\lvert\; \mathsf X_0 = j ) = ... $$

Detto questo, sospetto (senza averne conferma) che la terza uguaglianza della catena, che è quella che mi manda in confusione, sia in qualche modo legata al fatto che si ritorna quasi certamente in $j$ almeno una volta $iff$ si torna quasi certamente in $j$ infinite volte, e che quella uguaglianza sia da intendersi come una uguaglianza tra le misure e non tra gli eventi usati come argomento. Qualcuno può aiutarmi a dimostrare in maniera abbastanza rigorosa la terza uguaglianza? Grazie mille.

Nel nostro corso non viene mai affrontata la proprietà forte di Markov ed i tempi di ritorno sono trattati solamente più avanti nel corso... non esiste nessun modo per dimostrare l'uguaglianza che non coinvolga questi? (Visto che il professore ha ritenuto di poter enunciare il teorema e dimostrarlo prima di quegli argomenti suppongo che dovremmo essere in grado di capirlo e spiegarlo già senza)

Grazie.