Sto avendo difficoltà a capire un passaggio di questa dimostrazione (per brevità riporto solo il passaggio e non tutta la dimostrazione):
Teorema: Sia $\{\mathsf X\}_{n\in\mathbb N}$ una DTMC omogenea, la sua matrice di transizione e $\mathsf S$ il suo spazio degli stati; sia$i,j\in\mathsf S| i \leftrightarrow j$, allora $f_{ij} = 1$
Dimostrazione: Sia $m\in\mathbb N | P_{ji}^{(m)} > 0$. Allora
$$1 = f_{jj} = \mathbb P\big( \mathsf X_n = j \text{ per infiniti } n| \mathsf X_0 = j \big) \\= \mathbb P( \mathsf X_n = j \text{ per qualche } n > m \;\big\lvert\; \mathsf X_0 = j ) = ... $$
Detto questo, sospetto (senza averne conferma) che la terza uguaglianza della catena, che è quella che mi manda in confusione, sia in qualche modo legata al fatto che si ritorna quasi certamente in $j$ almeno una volta $iff$ si torna quasi certamente in $j$ infinite volte, e che quella uguaglianza sia da intendersi come una uguaglianza tra le misure e non tra gli eventi usati come argomento. Qualcuno può aiutarmi a dimostrare in maniera abbastanza rigorosa la terza uguaglianza? Grazie mille.