Esercizio disuguaglianza di Chebyshev

[fox24]

Salve a tutti, vorrei qualche indicazione su come svolgere il seguente quesito:

"Se la durata di un segnale ha distribuzione esponenziale con media 5 secondi, utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quanti segnali indipendenti bisogna registrare perché la loro durata media sia compresa tra 4 e 6 secondi, con una probabilità almeno pari a 9/10?"

Risposte:
a. Almeno 90
b. Almeno 100
c. Almeno 250
d. Almeno 50

So che per ottenere il 90% il fattore c deve essere circa 3 ma non so come andare avanti.
\(\displaystyle P(|X−μ|<c⋅σ)≥1−1/c^2 \)


Grazie.

[ghira]

Quant'è la varianza di una distribuzione esponenziale con media 5 secondi?

[fox24]

Quant'è la varianza di una distribuzione esponenziale con media 5 secondi?

\(\displaystyle Var(X) = 1/λ^2 \) quindi 25.

[tommik]

e quindi applicando la disuguaglianza di Cebicev trovi subito che

$1-25/n>=9/10$

ovvero $n>=250$

dove sta la difficoltà?

[fox24]

e quindi applicando la disuguaglianza di Cebicev trovi subito che

$1-25/n>=9/10$

ovvero $n>=250$

dove sta la difficoltà?

Scusami non capisco il membro di sinistra, perchè \(\displaystyle 1-25/n \)?

[tommik]

La disuguaglianza di Cebicev, scritta in modo un po' differente dal tuo ma più utile, in questo caso, è la seguente


$mathbb{P}{|X-mu|<=epsilon}>=1-sigma^2/epsilon^2$

ti viene chiesto di applicare questa disuguaglianza ALLA MEDIA di n segnali indipendenti. Non mi pare un segreto che la media della media campionaria è la media della popolazione mentre la varianza della media campionaria è la varianza della popolazione diviso n....quindi la tua disuguaglianza è questa


$mathbb{P}{|bar(X)_n-5|<=1}>=1-25/(n\cdot 1^2)$

[tommik]

Giustissimo! che stupido...
Grazie mille dell'aiuto, molto gentile.

[Faussone]

mentre la varianza della media campionaria è la varianza della popolazione diviso n....

Questo non vale solo se la popolazione segue una distribuzione gaussiana?

[tommik]

No. E' sufficiente che le variabili siano stocasticamente indipendenti ed ogni elemento $X_i$ del campione abbia la stessa distribuzione della popolazione.
Queste sono le proprietà del "Campionamento Casuale"

Dim:

$\mathbb{E}[\bar(X)_n]=\mathbb{E}[1/n sum_i X_i]=1/n n \mathbb{E}[X_1]=mu$


$\mathbb{V}[\bar(X)_n]=\mathbb{V}[1/n sum_i X_i]=1/n^2 n \mathbb{V}[X_1]=sigma^2/n$

Nel caso in esame si ha una pololazione con densità esponenziale negativa di parametro $1/5$ da cui si estrae un campione casuale semplice di ampiezza $n$

$X_1,...,X_n$

Il fatto è che, nota la distribuzione, il problema può essere risolto in modo esatto e non con questa bruttissima approssimazione di Cebicev dove non si tiene conto della conoscenza della distribuzione. Una volta nota la distribuzione la disuguaglianza di Cebicev non serve più a nulla...

Questi metodi (Es. Cebicev e Markov) sono molto ma molto approssimativi e servono quando non si conosce nulla circa la distribuzione dei dati ma solo media e varianza....allora piuttosto che niente è meglio piuttosto.

Qui invece sappiamo che la popolazione è una Esponenziale (cioè una Gamma). Per le note proprietà di questa famiglia anche la media è ancora Gamma.....che si può ricondurre ad una chi quadro....poi ci sono le tavole e i calcolatori.

Oppure ancora esistono metodi approssimati molto ma molto più efficienti: nel caso in esame viene fuori che $n>=250$...dico duecentocinquanta.

con $n=250$, media e varianza finite si può usare il Teorema Centrale del Limite¹ anche senza passare per la distribuzione esatta (se uno non ha dimestichezza con le Gamma)...ma Cebicev proprio è l'unica cosa che non farei...

Quindi come si dovrebbe procedere:

1) se uno sa gestire le Gamma può calcolare la soluzione esatta

2) se uno non lo sa allora usa Cebicev e quando vede che $n$ è enorme, molto più di quanto consideriamo normalmente come $oo$ allora rifà il problema con il TLC. Se gli viene fuori un $n>30$ tutto ok...se viene fuori $n=5$ allora occorre farsi qualche domanda.

---

Note

1. una nota "regola empirica" consiglia di usarlo con $n>=32$ ↑

[Faussone]

No. E' sufficiente che le variabili siano stocasticamente indipendenti ed ogni elemento $X_i$ del campione abbia la stessa distribuzione della popolazione.
Queste sono le proprietà del "Campionamento Casuale"

Grazie, precisazione preziosa. E' una delle (tante) cose che non avevo a fuoco.