No. E' sufficiente che le variabili siano stocasticamente indipendenti ed ogni elemento $X_i$ del campione abbia la stessa distribuzione della popolazione.
Queste sono le proprietà del
"Campionamento Casuale"Dim:
$\mathbb{E}[\bar(X)_n]=\mathbb{E}[1/n sum_i X_i]=1/n n \mathbb{E}[X_1]=mu$
$\mathbb{V}[\bar(X)_n]=\mathbb{V}[1/n sum_i X_i]=1/n^2 n \mathbb{V}[X_1]=sigma^2/n$
Nel caso in esame si ha una pololazione con densità esponenziale negativa di parametro $1/5$ da cui si estrae un campione casuale semplice di ampiezza $n$
$X_1,...,X_n$
Il fatto è che, nota la distribuzione, il problema può essere risolto in modo esatto e non con questa bruttissima approssimazione di Cebicev dove non si tiene conto della conoscenza della distribuzione. Una volta nota la distribuzione la disuguaglianza di Cebicev non serve più a nulla...
Questi metodi (Es. Cebicev e Markov) sono molto ma molto approssimativi e servono quando non si conosce nulla circa la distribuzione dei dati ma solo media e varianza....allora piuttosto che niente è meglio piuttosto.
Qui invece sappiamo che la popolazione è una Esponenziale (cioè una Gamma). Per le note proprietà di questa famiglia anche la media è ancora Gamma.....che si può ricondurre ad una chi quadro....poi ci sono le tavole e i calcolatori.
Oppure ancora esistono metodi approssimati molto ma molto più efficienti: nel caso in esame viene fuori che $n>=250$...dico
duecentocinquanta.
con $n=250$, media e varianza finite si può usare il Teorema Centrale del Limite
1 anche senza passare per la distribuzione esatta (se uno non ha dimestichezza con le Gamma)...ma Cebicev proprio è l'unica cosa che non farei...
Quindi come si dovrebbe procedere:
1) se uno sa gestire le Gamma può calcolare la soluzione esatta
2) se uno non lo sa allora usa Cebicev e quando vede che $n$ è enorme, molto più di quanto consideriamo normalmente come $oo$ allora rifà il problema con il TLC. Se gli viene fuori un $n>30$ tutto ok...se viene fuori $n=5$ allora occorre farsi qualche domanda.