Problema con la standardizzazione di sommatorie

[ingkle]

Salve, vi pongo un problema che non riesco a risolvere. L'ho preso da un tema d'esame di probabilità e statistica.
La quantita' d'acqua (misurata in ettolitri) consumata in una settimana in un dato edificio è modellata da una variabile aleatoria X assolutamente continua con densita':

fX(x) = $ { ( 0 ),( 0.1e^(-0.1x) ):} $ (0 per x<0 ; 0.1e^(-0.1x) per x>=0)


Dunque, la quantità d'acqua consumata in media settimanalmente è $ E[X]=1/lambda =1/0.1=10 $ poiche X var aleatoria esponenziale $ X~ xi (0.1) $.

La varianza è $ Var(X)=1/lambda ^2=1/0.1^2=100 $.

Mi viene chiesto questo:
Si supponga che 100 abitazioni abbiano tutte il fabbisogno distribuito come X e che siano indipendenti. Approssimare la probabilita' che l'acqua consumata in una settimana dalle 100 abitazioni ecceda i 1010 ettolitri.


Suppongo di dover utilizzare la densità normale. Sia $ X_i $ ="Consumo del i-esimo edificio".

$ X~ N(10,100) $ e voglio calcolare: $ \mathcal(mathbb(P) )(sum_(i =1)^(100)X_i>=1010) $ .
A questo punto non mi torna utile la formula della standardizzazione $ Z=(X-mu )/sigma $ , o almeno non mi permette di arrivare alla soluzione $ mathbb(P)(Z>=1/10)=0.46 $.

Vi ringrazio in anticipo, se non ci fosse qualcosa di chiaro fatemelo sapere.

[tommik]

Si tratta di applicare il teorema del limite centrale per cui

$(sum_i X_i-nmu)/(sigma sqrt(n)) ~ Phi$


Quindi passando ai numeri:

$mathbb{P}[Z>(1010-100xx10)/(10sqrt(100))]=mathbb{P}[Z>1/10]=1-Phi(1/10)~~046$

[ingkle]

Grazie mille!