Esercizio sulle solite Palline poco intuitivo (per me)

[Giova411]

Un'urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90 che vengono estratte una dopo l'altra senza reinserimento.

Dopo aver risolto tutti i punti, uno mi risulta difficile da fare.. Cioé la soluzione del libro non riesco a capirla.


Eccolo:
qual é la prob che, per $i$ fissato, la pallina $i$ -esima estratta sia proprio la numero $i$?

[antrope]

Prima di azzardare strane cose.. Che soluzione ti dà il libro?

[alvinlee88]

infatti forza con la soluzione...interessa anche a me questo problema...istintivamente , o quasi, direi che la prob sia uno su novanta, il ragionamento è piuttosto semplice ma non sn un esperto di calcolo delle probabilità..(le ho fatte poco poco al liceo.)cmq se il nostro $i$ fosse $1$, allora la prob sarebbe $1/90$ (spero di scrivere bene..); se $i$ fosse $2$, la prob sarebbe la probabilità che il secondo numero estratto sia proprio il due, cioè $1/(90-1)$, ossia $1/89$, per la probabilità che il primo numero estratto non fosse stato proprio il numero due, ossia per la probabilità $89/90$: probabilità totale, $1/90$. se $i$ fosse $3$, stesso ragionamento: prob che il terzo numero estratto sia $i$ è $1/88$, mentre la prob che fra i primi due numeri estratti non comparisse il nostro $i$ era di $88/90$, quindi la probablità è ancora $1/90$. generalizzando, la peobabilità che, per $i$ fissato, la pallina $i$ -esima estratta sia proprio la numero $i$, è $1/(90-(i-1))$ per $(90-(i-1))/90$, che alla fine fa sempre $1/90$...siete pregati di linciarmi se ho sbagliato (in special modo a digitare le formule), ma siete altresì pregati di spiegarmi...grazie

[Giova411]

Il libro dice che sia nel caso di estrazioni con rimpiazzo che senza (cmq senza veniva richiesto..) la prob è sempre la stessa e cioé: $1/90$
Non lo capivo...
Ma forse il nostro alvinlee88 ci ha preso!

Quindi dovrebbe proprio essere come dice alvinlee88...

[antrope]

In effetti avevo fatto pressappoco lo stesso ragionamento anche io perchè avevo pensato le seguenti cose..

Se indico con $ E_{i} $ l'evento pallina i-esima estratta all'estrazione i-esima, allora:

- $ i = 1 $ sicuramente ho che $ P(E_{1}) = 1/90
- $ i = 2 $ ho che $ P(E_{2}) = 89/90 * 1/89 $ che è ancora $ 1/90 $

Per $ i = 3 $ però mi sorgeva un altro tipo di dubbio..

Per la prima pallina ho diciamo 89 scelte favorevoli al nostro evento su 90, per la seconda ne ho 88 su 89, e per la terza necessariamente una su 88. Anche qui apparentemente la probabilità sembra di $ 1/90 $ , ma non dovrebbe essere moltiplicata anche per il coefficiente $ ((89),(2)) $ ?? Alla fine estrarre tre palline in quest'ordine:

$ (2 1 3) $ oppure $ (5 6 3) $ oppure $ (6 4 3) $ non valgono tutte come favorevoli al nostro evento?

Ps: secondo me il mio ragionamento è sbagliato, è soltanto una domanda a voi

[antrope]

Nessuno che trova un chiarimento a questo esercizio? Il dubbio persiste ancora :\

[alvinlee88]

si, valgono tutte come favorevoli al nostro evento, e il numero di questi casi favorevoli è $(89*88)/(2!)$..ti torna? in questo calcolo $n=89$ (tutte le palline all'infuori di quella $i$), e $k$ ovviamente $2$ (ossia le prime due palline estratte)...questa combinazione fa $3916$, e rappresentano, come hai detto te, i casi favorevoli (quelli ,per capirci, che faranno da numeratore alla frazione da moltiplicare per $1/88$)...i casi possibli, ovviamente, sarrano invece $((90),(2))$, cioè $4005$...la probabilità quindi che nei primi due numei estratti non ci sia $i$ è proprio $3916/4005$, che, guarda un pò, è uguale a $88/90$....lo stesso lo puoi verificare per gli altri numeri....quindi la probabilità totale, cioè $P(E_{i})=1/88*88/99=1/90$...spero ti sia chiaro e che , sopratutto, non abbia sbagliato io!!!quindi invito chi magari va all'università e se ne intende un pò di più a dirci se va bene o no, e a spiegarci, in quel caso, la soluzione corretta...

[Giova411]

alvinlee88 mi sembra corretto,
Grazie!

[alvinlee88]

lo spero ma aspetto conferme, non si sa mai...però mi sembra così...

[antrope]

Sono d'accordo con questo tipo di interpretazione, o almeno mi sembra la piu plausibile