Consistenza Stimatore di Massima Verosimiglianza

[jinsang]

Ho questo esercizio sul quale sto ragionando da un po' e non mi riesce venirne a capo.

Dato \( \lambda>0 \) si considera \( X_1,...,X_n \) campione estratto da una popolazione con densità \[ f(x)= \lambda^2 \frac{\log(x)}{x^{1+\lambda}} \mathbb{I}_{[1,+\infty)}(x) \] Chiamiamo \( \Lambda_n \) lo stimatore di massima verosimiglianza di \( \lambda \).
Determinare un'espressione per \( \Lambda_n \) e dire se la successione di stimatori data da \( (\Lambda_n)_{n \geq 1} \) è consistente.


Il mio problema è determinare se è consistente.
Infatti dopo un po' di conti (che posso mostrare se utile) trovo: \[ \Lambda_n=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n \log(X_i)} \] Per la consistenza dovrei mostrare che \( \forall \epsilon >0 \) vale: \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}[|\Lambda_n - \lambda| \geq \epsilon]=0 \] Perciò ho pensato potesse essere utile calcolare il valore atteso di \( \Lambda_n \) e sfruttare in qualche modo la legge dei grandi numeri. Ma non riesco a calcolare il valore atteso di \( \Lambda_n \) perché mi servirebbe la sua densità, che non riesco a ricavarmi.

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

[edit: ho corretto la funzione di densità]

[tommik]

non riesco a calcolare il valore atteso di \( \Lambda_n \) perché mi servirebbe la sua densità, che non riesco a ricavarmi.

Qualcuno saprebbe aiutarmi?

Che lo stimatore di massima verosimiglianza sia consistente già lo sai perché è una delle proprietà di tali stimatori. Non resta che verificarlo.


La tua funzione di densità è questa:

$f(x)=lambda^2 logx \cdot x^(-(lambda+1))$; $x>1$

Ora osserva che ponendo

$Y=logX$

la densità di Y viene

$f_(Y)(y)=lambda^2(e^y)^(-(lambda+1))e^y=lambda^2ye^(-lambday)$; $y>0$

Quindi $Y ~ "Gamma"(2;lambda)$

e di conseguenza il denominatore del tuo MLE ha la seguente distribuzione

$Sigma_x log x =W ~ "Gamma"(2n;lambda)$

Ora, ricordando che , se W si distribuisce come una Gamma, $1/W$ si distribuisce come una gamma inversa, è immediato verificare che

${{: ( mathbb{E}[T]=(2n)/(2n-1)theta ),( mathbb{V}[T]=(4n^2)/((2n-1)^2(n-2))theta^2 ) :}$

che significa anche

${{: ( lim_n mathbb{E}[T_n]=theta),( lim_n mathbb{V}[T_n]=0 ) :}$

Questa condizione è la CNES per la convergenza in $L^2$ che a sua volta è condizione sufficiente per la convergenza debole o, come la chiamiamo in Statistica, consistenza.

fine

[jinsang]

Ti ringrazio molto.
Mi incartavo con i conti, ma alla fine sono riuscito a portarli a termine e mi trovo con i tuoi risultati.

P.S. scusami se rispondo dopo una settimana.