Stimatore del parametro b di un campione uniforme in (0,b)

[submarine]

Buonasera Forum. Ho un dubbio sul calcolare le prestazioni di uno stimatore. L'esercizio chiede:

Dato un campione aleatorio di cardinalità N estratto da una popolazione uniforme U(0,b) analizzare le prestazioni del seguente stimatore del parametro b:

$\hatb = 2/N sum_{n=0}^(N-1) Y(n)$

e stabilire se sia o meno consistente.

Per prestazioni si intendono la polarizzazione e la varianza dello stimatore.

1. Prima di calcolare la polarizzazione è necessario conoscere la pdf di $\hatb$ per effettuare la media statistica.
A questo punto ho utilizzato la funzione caratteristica che fattorizza le singole CF per ciascuna variabile aleatoria se queste sono iid.

Quindi ho calcolato la CF di $\hatb$ come prodotto di N CF delle singole variabili aleatorie e l'ho calcolata in $2u/N$:

$\phi_\hatb(u) = \phi_S(2u/N)$, dove $S = sum_{n=0}^(N-1)Y(n)$

$\phi_\hatb(u) = [(e^(j2/Nub) -1)/(j2/Nub)]^N$

Ora la media si ricava come cumulante di ordine uno, e per fare ciò si applica la definizione:

$k_m(X) -= [-j]^m d^m/du^m \phi_X(u)$ con $u=0$

Quindi per la media:

$k_1 = E[\hatb]$

Non ho scritto il risultato perchè cade in una forma indeterminata. Quindi vi chiedo cortesemente un contributo e una curiosità: sarebbe troppo laborioso ragionare direttamente in termini di pdf?

P.S. Risolto questo varianza e di conseguenza consistenza vengono naturali, spero.

Grazie a tutti.

[tommik]

per calcolare media e varianza dello stimatore non sempre serve cercare tutta la distribuzione, in questo caso bastano le proprietà di media e varianza.

Ogni elemento del campione ha la stessa distribuzione della popolazione e gli elementi sono fra loro indipendenti.

Ergo, la media della somma è la somma delle medie mentre la varianza della somma è la somma delle varianze.

Noto inoltre che $V(aX)=a^2V(X)$ il problema si risolve in modo banale.

Un esempio recente dove invece è necessario calcolare preventivamente la legge dello stimatore è questo

PS: che significa $sum_(n=0)^(N-1) Y(n)$ ??

sai che mettere un $(n)$ fra parentesi significa "ordinare i dati in modo crescente"?
Com'è fatto il campione di cardinalità N?

$Y_1,...,Y_N$ oppure $Y_0,...,Y_(N-1)$?

[ghira]

sai che mettere un $(n)$ fra parentesi significa "ordinare i dati in modo crescente"?

Questo non lo sapevo io.

[tommik]

dato il campione

$X_1,...,X_n$ per indicare le statistiche d'ordine, cioè le variabili ordinate si scrive

$X_((1)),...,X_((n))$

infatti per indicare il minimo si scrive $X_((1))$ mentre il massimo $X_((n))$

vedi ad esempio qui

oppure qui per un bell'esercizio risolto sul forum

Nell'esercizio del link l'utente mette l'indice come apice invece di pedice, ma è una notazione che non ho mai visto prima.

[ghira]

le variabili ordinate si scrive

$X_((1)),...,X_((n))$

Ah, nei suffissi! A questo punto non sono sicuro se l'ho visto o no, ma sembra una convenzione utile. Grazie di avermelo detto (o forse ricordato?).

L'OP ha scritto $Y(n)$ che mi sembrava considerare $Y$ come funzione di $n$. Il che va.. bene, no? E avere $n$ che varia da 0 a $N-1$ o da 1 a $N$ mi sembra una questione di gusto.

[tommik]

E avere $n$ che varia da 0 a $N-1$ o da 1 a $N$ mi sembra una questione di gusto.

beh insomma.... se il campione è questo

$Y_1,...,Y_N$ e lo stimatore è questo


$T=2/N sum_(n=0)^(N-1)Y_n$ (senza parentesi ) la sua media è

$E(T)=(2(N-1))/N b/2=(N-1)/N b$

se invece il campione è questo $Y_0,...,Y_(N-1)$ allora la sua media è $b$

In entrambi i casi lo stimatore è asintoticamente corretto ma nel secondo caso è distorto.

Non sei d'accordo?

[ghira]

Non sei d'accordo?

Sì sono d'accordo. L'OP .. sembra parlare solo di $0\ldotsN-1$ ma forse mi sbaglio. Se il campione e il calcolo sono coerenti non vedo problemi. Magari usare $1\ldotsN$ è più comune.

[submarine]

Grazie Tommik. Era una banalità che dalla portata dell'esercizio si poteva intuire. Comunque nel corso siamo abituato a intendere con $Y(n)$ l'elemente n-esimo del campione di dimensione N. Inoltre il campione per convenzione lo si intende da 0 a N-1.

Grazie ancora.

[tommik]

Insomma 'sto stimatore è non distorto, è consistente....anzi ti dirò di più....applicand la legge forte dei grandi numeri abbiamo che $T\stackrel("q.c.")rarr b$, cioè al crescer di $n$

$mathbb{P}[lim_n T_n=b]=1$






allora è un buon stimatore per il parametro b?

[submarine]

$ mathbb{P}[lim_n T_n=b]=1 $ come la colleghi questa alle prestazioni asintotiche?

Comunque tornando al nostro stimatore non è polarizzato e consistente ma è ben lontano dall'essere efficiente, almeno un ordine di grandezza. Calcolando il CRLB di $\hatb$ si ha infatti:

$J_F(b) = N^2/b^2$ , quindi:

$Var[\hatb] = b^2/(6N) >= b^2/N^2$

Era questo che volevi sapere?