Problemino di PROBABILITA'

[Giova411]

In un intervallo di lunghezza 1 si scelgono a caso e in modo indipendente, due punti $a$ e $b$, che dividono tale intervallo in tre sotto-intervalli. Qual é la prob che il più piccolo tra i tre sia $<1/5$.

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Ma come si fa?
E' sottintensa una distribuzione uniforme [0,1]?
Ringrazio colui che mi salverà!!!

[codino75]

ciao giova.
direi che la Var. Aleatoria che descrive la posizione di ciascuno dei 2 punti abbia densita' di probabilita' uniforme sull'intervallo scelto.
e' la scelta + semplice mi sembra...

[Giova411]

Ciao Codino!!!

Ok.
Sicuro sarà una cavolata ma proprio non lo so risolvere... Non ci sto dentro
Povero me!

[codino75]

proverei con la forza bruta e col 'solito' disegnino con 2 assi.
ti abbasta?

[Giova411]

No Codì... L'avevo fatto il disegnetto, ma non lo capisco...
Tanto lo sappiamo entrambi che finirò col costringerti a fotografare i tuoi preziosi calcoli...



Non riesco proprio con sti problemi... E non solo...
Il disegno almeno è giusto? Avevo fatto quello quando ho provato a farlo ma poi m'incasino con distribuzioni e compagnia bella.

[Fioravante Patrone]

In un intervallo di lunghezza 1 si scelgono a caso e in modo indipendente, due punti $a$ e $b$, che dividono tale intervallo in tre sotto-intervalli. Qual é la prob che il più piccolo tra i tre sia $<1/5$.

certo, come già detto da codino75, la distribuzione è uniforme

potrei suggerire un percorso grafico (naturalmente! Noto con piacere che ti sei già messo a disegnare da solo...)

disegna il grafico della funzione (di due variabili) che ad $a,b \in [0,1]$ associa la misura del più piccolo intervallo individuato da $a$ e $b$.

Poi prova a "vedere" dove questa funzione assume valore minore di $1/5$ (tra l'altro, minore stretto o minore o uguale non dovrebbe fare differenza, come si dovrebbe vedere dal disegno)

non è la strada ortodossa, presumo
ma chi non risica...

[Giova411]

Graficamente non riesco a vederli mai... Assurdo! Se ho una tipologia nuova di problemi non ce la FO mai...

Avevo provato ad impostarlo così ma mi blocco porcaccia la ....

Per il minimo tra i tre intervalletti:
$U=min(T_1, T_2, T_3)$
$P(U=t) = [P(T_1 = t)P(T_2 = t)P(T_3 = t)] + [P(T_1 > t) P(T_2 = t) P(T_3 = t) ]+[P(T_1 = t) P(T_2 > t) P(T_3 = t)] + [P(T_1 = t) P(T_2 = t) P(T_3 > t)] = $
$=[P(T_1 = t) P(T_2 = t) P(T_3 = t)] + [(1-P(T_1 <= t)) P(T_2 = t) P(T_3 = t)] +[P(T_1 = t) (1-P(T_2 <= t)) P(T_3 = t) ]+[P(T_1 = t) P(T_2 = t) (1-P(T_3 <= t))] $

Concettualmente mi sembra corretto ancora adesso ma non so che numerelli ficcargli dentro per ottenere la prob del minimo dei tre.

[codino75]

puoi spiegare meglio l'ultima formula da te scritta, che non l'ho capita molto.
inoltre, ho provato a seguire il mio consiglio di fare il grafico, ma in effetti risulta alquanto incasinato...
i'm very sorry for the wrong advice

[Giova411]

Don't worry about it! However I thank you the same one!
Eh... sto corso di lingue de-agostini è fantastico...

Quella formula l'avevo usata spesso per risolvere i problemini di var discrete. Funzionava...

Ma qui è un pacco!
Non so proprio come si fa... O forse lo so ma non so che so farlo...
Alla fine sarà una cavolatina magari che si risolve con un sistemino tranquillo...

Lascio la parola a chi sa farlo....

[codino75]

mi permetto due suggerimenti:

- metodo grafico (contrariamente a quanto affermavo nel mio ultimo post)

- il problema NON CHIEDE LA DENSITA' DI PROBABILITA' del minimo tra i 3 intervalli, ma solo QUANDO ESSO E' MINORE DI 1/5 (cio' semplifica molto la trattazione geometrico-matematica)

saluti