Il problema del 15 agosto!

[Giova411]

Da ieri notte che cerco di risolvere questo:

Due segmenti AB e CD sono lunghi 8 e 6 unità rispettivamente. Su di essi si scelgono a caso due punti P e Q.
Mostrare che la probabilità che l'area di un triangolo, avente AP per altezza e CQ per base, sia maggiore di 12 unità quadrate è uguale a $(1-ln2)/2$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Procedimento mio sbagliato:

Ho pensato di vedere dove l'area è $<= 12$. E' uguale a 12 se ho $(6*4)/2$ quindi $P(Area<=12)$ per i valori interni al 6 sulle ordinate e 4 sulle ascisse [area BLU] e viceversa cioé valori interni al 4 sulle ordinate e al sei sulle ascisse [l'altro triangolo: mezzo blu e mezzo grigio]

L'area blu è 12. L'area grigia l'ho trovata con l'integrazione e dovrebbe essere $20/3$. L'area tot del rettangolo è $48$.
Viene richiesta l'area del rettangolo esclusa l'area blu e l'area grigia.

Ma non trovo il risultato da mostrare ARRRGH

Suggerimenti?
Grazie

[Tipper]

Sia $X$ la variabile aleatoria relativa alla lunghezza del segmento $AP$, e $Y$ la variabile aleatoria relativa alla lunghezza di $CQ$, entrambe sono v.a. uniformemente distribuite:

$f_{X}(\xi) = \{(\frac{1}{8}, "se " 0 \le \xi \le 8),(0, "else"):}$

$f_{Y}(\eta) = \{(\frac{1}{6}, "se " 0 \le \eta \le 6),(0, "else"):}$

Se si considerano $X$ e $Y$ come variabili aleatorie indipendenti, allora la densità di probabilità congiunta vale

$f_{X,Y} (\xi, \eta) = \{(\frac{1}{48}, "se " (\xi, \eta) \in [0,8] \times [0,6]),(0, "else"):}$

La probabilità richiesta è $P(XY \ge 24)$, ovvero $P(Y \ge \frac{24}{X})$. Facendo un disegnetto, disegnando l'iperbole e il supporto della densità di probabilità congiunta, si vede che l'area in cui si deve integrare la p.d.f. congiunta è l'insieme

$\{(\xi, \eta) \in \mathbb{R}^2: 4 \le \xi \le 8, \frac{24}{\xi} \le \eta \le 6\}$

Quindi la probabilità richiesta vale

$\int_{4}^{8} \int_{\frac{24}{\xi}}^{6} \frac{1}{48} d \eta d \xi$

che vale $\frac{1 - \ln(2)}{2}$.

[Giova411]

Ripeto: dopo Pitagora, Tipper!

Grazie, capito!