Immaginiamo di voler testare con statistica $T$ e regione critica $C$,
un parametro $\theta$ di una popolazione $X$
distribuita seguendo una certa distribuzione $F$.
Se l'ipotesi nulla del test e' composta,
ad esempio del tipo $H_0 := \theta \ge 0$ con $C=[-\infty, -c]$ per un $c>0$,
sappiamo che la significativita' $alpha$ del test, o equivalentemente la probabilita' di avere errori di ISpecie,
dipende dal particolare $\theta_0 \in [0, +\infty]$, e risulta:
$alpha(\theta_0) = Pr{T \in C" "|" "H_0 " e' vera e " \theta=theta_0} = Pr{\T \in C | \theta >=0" e "\theta=theta_0}$
a questo punto, fissata la significativita' $\alpha$, si puo' determinare la regione critica $C$
andando a
1) prendere il $theta_0$ a cui corrisponde l'estremo superiore degli $alpha(\theta_0)$, chiamiamolo $\theta_"sup"$,
e
2) risolvendo per $C$ l'equazione $Pr{\T \in C | \theta >=0" e "\theta=theta_"sup"} = \alpha$
Ma... questa strategia (suggerita dal mio libro) mi convince poco...
per prima cosa la 1) non sempre e' indipendente da $C$, dunque a meno
di ipotesi scamuffose del tipo "$T$ segue una normale, o una t-student" il tutto e' circolare e non si va da nessuna parte,
e poi l'idea di prendere proprio il valore che massimizza il tutto e' una strategia "maxmin" che non mi piace neanche un po'.
Esistono altre strategie (collaudate) per trovare la regione critica fissata la significativita' nelle ipotesi nulle composte ?
P.S. Piu' studio statistica e' piu' mi chiedo se funzioni o se sia tutta campata per aria ?!?!?!?
