Dal Gelli, viene detto che (pagina 68):
Sulla base dei concetti introduttivi e degli esempi del precedente paragrafo, siamo ora in grado di dare la seguente definizione formale di variabile aleatoria:
Definizione (variabile aleatoria). Dato uno spazio di probabilità (Ω, S, P), una variabile
aleatoria (v.a.) X è una funzione definita in Ω ed a valori in X ⊆ R = R ∪ {−∞,+∞}, tale
che
1. {X ≤ x} è un evento, ∀x ∈ R;
2. P({X = +∞}) = P({X = −∞}) = 0.
Il significato della proprietà 1 è stato discusso precedentemente; con la proprietà 2, per motivi
matematici che qui non è il caso di approfondire, si consente alla funzione X di assumere il valore
+∞ oppure −∞, ma gli eventi {X = +∞} e {X = −∞} devono avere probabilità nulla. Infine,
una osservazione sulla notazione: benchè sia più corretta la notazione P({X ≤ x}), che evidenzia
la natura di evento di {X ≤ x}, nel seguito useremo quasi sempre la notazione semplificata, ma
più imprecisa, P(X ≤ x).
In conclusione, osserviamo che definire una variabile aleatoria su uno spazio di probabilità
(Ω, S, P) equivale in pratica a costruire un nuovo spazio di probabilità, nel quale lo spazio campione
diventa X ⊆ R, gli eventi sono sottoinsiemi di X che si ottengono per complementazioni,
unioni ed intersezioni di semirette sinistre, e la legge di probabilità è, per così dire, “indotta”
dalla legge di probabilità P.
A prescindere da tutto il resto perché 2. P({X = +∞}) = P({X = −∞}) = 0.?
Non dovrebbe essere $P({X=+oo}) = 1$ e $P({X=-oo}) = 0$?
e perché la v.a. è una funzione e non un funzionale?