Dubbio definizione v.a.

[Ahi]

Dal Gelli, viene detto che (pagina 68):

Sulla base dei concetti introduttivi e degli esempi del precedente paragrafo, siamo ora in grado di dare la seguente definizione formale di variabile aleatoria:
Definizione (variabile aleatoria). Dato uno spazio di probabilità (Ω, S, P), una variabile
aleatoria (v.a.) X è una funzione definita in Ω ed a valori in X ⊆ R = R ∪ {−∞,+∞}, tale
che
1. {X ≤ x} è un evento, ∀x ∈ R;
2. P({X = +∞}) = P({X = −∞}) = 0.
Il significato della proprietà 1 è stato discusso precedentemente; con la proprietà 2, per motivi
matematici che qui non è il caso di approfondire, si consente alla funzione X di assumere il valore
+∞ oppure −∞, ma gli eventi {X = +∞} e {X = −∞} devono avere probabilità nulla. Infine,
una osservazione sulla notazione: benchè sia più corretta la notazione P({X ≤ x}), che evidenzia
la natura di evento di {X ≤ x}, nel seguito useremo quasi sempre la notazione semplificata, ma
più imprecisa, P(X ≤ x).
In conclusione, osserviamo che definire una variabile aleatoria su uno spazio di probabilità
(Ω, S, P) equivale in pratica a costruire un nuovo spazio di probabilità, nel quale lo spazio campione
diventa X ⊆ R, gli eventi sono sottoinsiemi di X che si ottengono per complementazioni,
unioni ed intersezioni di semirette sinistre, e la legge di probabilità è, per così dire, “indotta”
dalla legge di probabilità P.

A prescindere da tutto il resto perché 2. P({X = +∞}) = P({X = −∞}) = 0.?

Non dovrebbe essere $P({X=+oo}) = 1$ e $P({X=-oo}) = 0$?

e perché la v.a. è una funzione e non un funzionale?

[codino75]

forse confondi la fnzione P(.) con la funzione di ripartizione qui definita:
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_ripartizione

[Ahi]

Si lo so.
In pratica mi chiedo perché per la funzione di ripartizione (o CDF) la $P(+oo)=1$ e $P(-oo)=0$ mentre per la v.a. $P(+oo)=P(-oo)=0$? Per la v.a. non potrebbe essere la stessa cosa della funzione di ripartizione?
Non riesco a capire questo sul Gelli.

[Tipper]

Se $F_X (\cdot)$ indica la funzione di ripartizione della v.a. $X$, dire che $\lim_{\xi to +\infty} F_X(\xi) = 1$ significa dire che $P(X \le +\infty) = 1$. Ciò significa che i valori assunti dalla v.a. sono sicuramente (= con probabilità 1) minori di $+\infty$ (i.e. sono reali). E infatti una v.a. è una funzione che ha come codominio $\mathbb{R}$.

[raff5184]

scusate se mi intrometto ma perché una v.a. è definita come una funzione e non come un funzionale?
Dato che:
una funzione è una legge che associa un numero reale ad una variabile reale o complessa
un funzionale è una legge che associa un numero agli elementi di un insieme non necessariamente numerico

[Tipper]

una funzione è una legge che associa un numero reale ad una variabile reale o complessa

Più che altro una funzione è una particolare relazione fra due insiemi... e poi non è detto che questi due insiemi debbano essere per forza $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, possono essere quello che gli pare...

[Martino]

una funzione è una legge che associa un numero reale ad una variabile reale o complessa

Aaaargh!

(con simpatia )

Quanto alla definizione di funzionale, credo di trovarmi d'accordo con Wikipedia che dice che si tratta di una funzione che ha funzioni come argomento.