Probabilità sul lancio di 2 dadi

Messaggioda franced » 23/09/2007, 22:00

Eccovi questo bel (spero!) problema di probabilità:

Quante volte devo lanciare due dadi affinché si abbia una
probabilità maggiore del 50% di ottenere 7 come risultato
più frequente?

Lanciando una sola volta i 2 dadi il 7 ha probabilità $\frac{1}{6}$,
aumentando il numero dei lanci si arriva in modo asintotico a 1, ma quando
si avrà $p > 0,5$ ?

Questo problema me lo sono posto quest'anno, quando ho cercato di spiegare
ai miei studenti la differenza tra probabilità e dati reali..
Con un centinaio di lanci il 7 fu battuto dall'8 e dal 6.
Allora mi posi il problema che vi ho posto (era inevitabile porsi questo problema, no?!).

Ho fatto una simulazione con il metodo montecarlo e ho trovato che il risultato dovrebbe
essere tra i 70 e i 76 lanci.

Francesco Daddi
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Messaggioda franced » 23/09/2007, 22:08

E con 200 lanci si ha circa il 64% di probabilità.

Sempre con il metodo montecarlo.

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Messaggioda one.side.strip » 24/09/2007, 00:55

Scusami ma non ho capito la domanda...
Tu vuoi sapere dopo quanti lanci è uscito almeno un 7 con una probabilità del 50%?
Perchè allora la risposta è 4... (1-(5/6)^n>1/2)
Se invece vuoi sapere dopo quanti lanci hai il 50% delle possibilità che sia uscito una sola volta il numero 7... la risposta è mai visto che la proaabilità massima che sia uscito un solo 7 è tra 5 e 6 lanci ed è circa il 40%
Forse ho capito male il prolema...
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Messaggioda franced » 24/09/2007, 12:28

Ti faccio un esempio:

con 100 lanci ottieni 15 "7", 18 "6". In questo caso il "7" non è il numero più "gettonato".
Io voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi affinché il "7" sia il numero
più uscito. Dovrebbe essere tra 73 e 76.

Francesco Daddi
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Messaggioda franced » 24/09/2007, 12:34

franced ha scritto:Ti faccio un esempio:

con 100 lanci ottieni 15 "7", 18 "6". In questo caso il "7" non è il numero più "gettonato".
Io voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi affinché il "7" sia il numero
più uscito. Dovrebbe essere tra 73 e 76.

Francesco Daddi



Forse ho detto male.

Voglio dire che voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi per avere la probabilità
maggiore del 50% di ottenere il "7" più volte degli altri numeri.
Considero buono il caso in cui il "7" ha il massimo numero di uscite a pari merito con altri.

Francesco Daddi
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Messaggioda clrscr » 24/09/2007, 12:53

Scusatemi tanto..
Ma la probabilità di ottenere 7 lancinado una volta due dadi non è:
$P(7)=P_1(7)*P_2(7)+(P_1(7))^c *P_2(7)+P_1(7)*(P_2(7))^c= 11/36$ ?
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Messaggioda franced » 24/09/2007, 13:03

clrscr ha scritto:Scusatemi tanto..
Ma la probabilità di ottenere 7 lancinado una volta due dadi non è:
$P(7)=P_1(7)*P_2(7)+(P_1(7))^c *P_2(7)+P_1(7)*(P_2(7))^c= 11/36$ ?


La probabilità di ottenere "7" lanciando una sola volta una coppia di dadi è

$\frac{1}{6}$.

Francesco Daddi
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Messaggioda leev » 24/09/2007, 13:33

Quante facce hanno sti dadi?!?
Da quel che mi pare di intuire, ma non è stato esplicamente detto, si parla della somma dei numeri dei due dadi che deve dare 7...no?
Per il resto, neppure io ho ben inteso cosa vuoi determinare...
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Messaggioda one.side.strip » 24/09/2007, 13:36

franced ha scritto:
franced ha scritto:Ti faccio un esempio:

con 100 lanci ottieni 15 "7", 18 "6". In questo caso il "7" non è il numero più "gettonato".
Io voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi affinché il "7" sia il numero
più uscito. Dovrebbe essere tra 73 e 76.

Francesco Daddi



Forse ho detto male.

Voglio dire che voglio sapere quante volte devo lanciare 2 dadi per avere la probabilità
maggiore del 50% di ottenere il "7" più volte degli altri numeri.
Considero buono il caso in cui il "7" ha il massimo numero di uscite a pari merito con altri.

Francesco Daddi


Ok... ho capito la domanda ma secondo me la risposta è comunque mai...
Tu vuoi sapere in pratica la probabilità che nella sequenza dei lanci appaia il 7 più della metà delle volte..
Ora la probabilità che il numero 7 appaia k volte in n lanci è $((n),(k))(1/6)^k(5/6)^{n-k}$.
Tu vuoi la probabilità che appaia almeno n/2 volte, ossia:
$\sum_{k=n/2}^n ((n),(k))(1/6)^k(5/6)^{n-k}$
(lasciami supporre che tutto sia pari e meraviglioso... tanto non cambia nulla ai fini di quello che voglio dire)
e questa robaccia la vorresti superiore a 1/2, cosa che non succede mai: basta che maggiori selvaggiamente per accorgerte.
Maggiora il prodotto delle potenze 1/6 e 5/6 con $(5/36)^{n/2}$ ed $((n),(k))$ con $2^n$. Devi studiare la quantità $n/2 (20/36)^{n/2}$, che tende a 0 (d'altra parte 5/36 < 1/4) e ha un solo massimo locale tra 3 e 4. Ti rendi conto che già in 7 è minore di 1/2. A questo punto basta che ti fai a mano i casi n=2,3,4,5,6 e vedi che non è possibile...
Ma forse ho nuovamente capito male...
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Messaggioda franced » 24/09/2007, 13:45

[quote="one.side.strip"]
Ok... ho capito la domanda ma secondo me la risposta è comunque mai...
Tu vuoi sapere in pratica la probabilità che nella sequenza dei lanci appaia il 7 più della metà delle volte..
[quote]

No.

Non voglio quello, sarebbe troppo facile!
Voglio che il "7" sia uscito più di tutti gli altri numeri, capito?

Se in 200 lanci ottengo ad esempio

32 volte "7"
30 volte "6"
38 volte "8"

non va bene perché il "7" è stato battuto dall' "8".

Se invece ottengo:

39 volte "7"
38 volte "8"
34 volte "6"

allora in questo caso è ok.

Io in pratica voglio determinare il minimo numero di lanci di un dado a 6 facce affinché
nel 50% dei casi il "7" sia il numero più uscito.
Chiaro? Spero..

Francesco Daddi
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