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distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 11:19
da GuidoFretti
Siano $X_1,...,X_n$ $n$ variabili aleatorie iid aventi legge di Bernoulli di parametro $1/2$
sia $S_n:= X_1+...+X_n$
Qualcuno mi spiega come posso dimostrare che $n-S_n$ e $S_n$ sono uguali in legge?
Grazie
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 12:04
da ghira
Quanto fa $1-1/2$?
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 12:45
da GuidoFretti
ok si fa $1/2$ ma non riesco a capire il ragionamento.
seguendo le definizioni di convergenza in distribuzione non dovrei dimostrare che la funzioni di ripartizione di $n-S_n$ converge per $n->+infty$ alla funzione di ripartizione di $S_n$?
Tuttavia ora non so come esprimere queste due quantità per far vedere che sono le medesime
$P(n-S_n<=x)$
$P(S_n<=x)$
Magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 12:50
da ghira
Magari è più semplice farlo con la funzione di massa di probabilità?
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 13:24
da GuidoFretti
perdonami, ma non riesco a capire il tuo ragionamento (corretto eh!).
Potresti aiutarmi con qualche dettaglio in più?
dalle sole definzioni non sto giungendo a nulla.
Grazie
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 13:30
da ghira
Tanto per essere sicuri: il risultato è palesemente vero ed è solo la parte formale che ti preoccupa?
Quant'è $P(S_n=k)$? $P(S_n=n-k)$? $P(n-S_n=k)$? $P(n-S_n=n-k)$?
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 15:29
da GuidoFretti
Sinceramente non mi è immediato nemmeno il risultato in sé, ma vorrei capirlo perché probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua.
Rispondendo alla tua domanda:
$P(S_n=k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1-1/2)^(n-k)$
$P(S_n=n-k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
$P(n-S_n=k)=P(S_n=n-k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
$P(n-S_n=n-k)=P(S_n=k)=(n!)/(k!(n-k)!)(1/2)^k(1/2)^(n-k)$
Dunque si ha che le due probabilità considerate sono uguali al variare di $k$ generico e quindi sostanzialmente ho verificato la definizione di convergenza in distribuzione perché ho fatto vedere che per ogni $k$ vale l'uguaglianza dell'espressione della probabilità di $S_n$ e $n-S_n$ giusto?
Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 15:54
da ghira
GuidoFretti ha scritto:Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.
Mi limito a dire "Su!".
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 18:23
da ghira
GuidoFretti ha scritto:non dovrei dimostrare che la funzioni di ripartizione di $n-S_n$ converge per $n->+infty$ alla funzione di ripartizione di $S_n$?
converge? $n->+infty$? no! Che dici???
Re: distribuzione di Bernoulli
Inviato:
02/03/2023, 18:54
da GuidoFretti
ghira ha scritto:GuidoFretti ha scritto:Ho solo il dubbio del perché qui basta dimostrare che vale l'uguale per assicurare anche che vale il $<=$ come dice la definizione.
Mi limito a dire "Su!".
se l'uguaglianza vale per ogni $k$ varrà anche per $<=$...
no?