Gradino e densità

[Lionel]

Una variabile aleatoria $x$ ha la seguente densità di probabilità:
$f(x)=1/2*[u(x-1)-u(x-3)]$

dove $u(x)$ è la funzione gradino unitario
• Verificare che $x$ sia una densità di probabilità.

per dimostrare che è una densità deve risultare maggiore e normalizzata ad uno, ma qual è l'integrale che dovrei svolgere? Quel gradino mi mette in difficoltà.

[luca.barletta]

L'integrale è
$int_(RR) f(x)dx=1$
ovviamente i gradini riducono in qualche modo il dominio di integrazione; per capire come diventa aiutati con un disegnino

[Cantaro86]

basta che ti ricordi che:

$u(x-1)=1$ se x>1 e $u(x-1)=0$ se x<1

la disegni e vedi che l'area del rettangolo è proprio 2*1/2=1

[gugo82]

Una variabile aleatoria $x$ ha la seguente densità di probabilità:
$f(x)=1/2*[u(x-1)-u(x-3)]$

dove $u(x)$ è la funzione gradino unitario
• Verificare che $x$ sia una densità di probabilità.

per dimostrare che è una densità deve risultare maggiore [o tutto al più uguale a 0 in $R$, n.d. Gugo] e normalizzata ad uno, ma qual è l'integrale che dovrei svolgere? Quel gradino mi mette in difficoltà.

Potresti anche notare che la differenza tra due gradini restituisce la funzione caratteristica (o la sua opposta) dell'intervallo avente per estremi i punti di discontinuità dei gradini: in questo caso è:

$u(x-1)-u(x-3)=1$, se $x in [1,3[$ oppure $u(x-1)-u(x-3)=0$, se $x in ]-oo,1[cup [3,+oo[$

quindi l'integrale di $f$ esteso ad $RR$ in realtà si riduce all'integrale della funzione identicamente uguale ad $1/2$ esteso a $[1,3[$:

$\int_{-oo}^{+oo}f(x)dx=\int_{1}^{3}1/2 dx=1$.

Pertanto la tua $f$ è non negativa e normalizzata, ossia è una densità di probabilità per una variabile casuale (uniformemente distribuita su [1,3[).


P.S.: Ricordo che si chiama funzione caratteristica dell'insieme $Asubseteq RR$ l'applicazione $chi_A:RR rarr RR$ che associa $chi_A(x)=1$ se $x in A$ e $chi_A(x)=0$ se $x in RR-A$.

[franced]

Una variabile aleatoria $x$ ha la seguente densità di probabilità:
$f(x)=1/2*[u(x-1)-u(x-3)]$

dove $u(x)$ è la funzione gradino unitario
• Verificare che $x$ sia una densità di probabilità.

per dimostrare che è una densità deve risultare maggiore e normalizzata ad uno, ma qual è l'integrale che dovrei svolgere? Quel gradino mi mette in difficoltà.

Se ho capito bene la notazione dovrebbe essere una var. aleatoria uniforme su (1;3).
La moltiplicazione per $\frac{1}{2}$ è chiara se vediamo il tutto da un punto di vista
geometrico:
il rettangolo deve avere area 1, quindi se un lato è lungo 2, l'altezza è proprio $\frac{1}{2}$.

Francesco Daddi

[Lionel]

Se posso posto anche questo problema

Un esperimento consiste nel lancio di un dado e di una moneta affidabili. A questo esperimento
vengono associate due v.a., x e y. La v.a. x assume il valore 0 se sul dado escono i numeri 1 oppure
2, il valore 2 se escono 3 oppure 4 ed il valore 4 se escono 5 oppure 6. La v.a. y assume gli stessi
valori di x se sulla moneta esce testa e il valore zero se esce croce.

Ora come faccio a rappresentarle? Viene così

N x
$1$ $0$
$2$ $0$
$3$ $2$
$4$ $2$
$5$ $4$
$6$ $4$

Ma con la y come faccio?

[codino75]

Se posso posto anche questo problema

Un esperimento consiste nel lancio di un dado e di una moneta affidabili. A questo esperimento
vengono associate due v.a., x e y. La v.a. x assume il valore 0 se sul dado escono i numeri 1 oppure
2, il valore 2 se escono 3 oppure 4 ed il valore 4 se escono 5 oppure 6. La v.a. y assume gli stessi
valori di x se sulla moneta esce testa e il valore zero se esce croce.

Ora come faccio a rappresentarle? Viene così

N x
$1$ $0$
$2$ $0$
$3$ $2$
$4$ $2$
$5$ $4$
$6$ $4$

Ma con la y come faccio?

ogni riga di questa matrice rappresenta un evento.
per considerare anche la v.a. y devi sdoppiare ciascuno di questi eventi in due 'sottoeventi', il primo verificato se esce testa, e il secondo se esce croce.

[Lionel]

Mi potresti far vedere come? Tramite uno schema

[codino75]

N M x y
1 T 0 0
1 C 0 0
2 T 0 0
2 C 0 0
3 T 2 2
3 C 2 0
4 T 2 2
4 C 2 0
5 T 4 4
5 C 4 0
6 T 4 4
6 C 4 0

ogni riga e' un evento