esercizio urna con calcolo della varianza
Inviato: 18/06/2023, 18:48Salve a tutti! Sto studiando per l'esame di Probabilità e Statistica ma mi sono imbattuto in un punto che non riesco a risolvere.
L'esercizio dice "Da un’urna contenente trenta palline che hanno stampato 1 e
cinque palline che hanno stampato 5 si estraggono senza reimmissione dieci
palline. Si indichi con X la somma dei numeri stampati sulle dieci palline
estratte
a) Calcolare la probabilità che X valga 10.
b) Calcolare il valore atteso di X.
c) Calcolare la varianza di X.".
Il punto che non riesco a risolvere è il punto c.
Il punto a non è funzionale al punto c.
Per il calcolo del punto b ho utilizzato $ E[X] =E[\sum_{k=1}^10X_k ] = \sum_{k=1}^10 E[X_k] = 110/7 $ dove $ X_k $ sarebbe la variabile che indica il numero che è uscito all'estrazione i-esima e $ E[X_k] = 1 P(X_k = 1) + 5 P(X_k = 5) = 30/35 + 25/35 = 11/7 $.
Avendo risolto il punto b sono passato al punto c per cui ho pensato di utilizzare la formula $ Var(X) = E[X^2] - E[X]^2 $, in alternativa avevo pensato di utilizzare la formula della varianza di una somma di v.a tuttavia non essendo indipendenti non possiamo dire nulla sulle covarianze che andrebbero calcolate, complicando ulteriormente le operazioni, perciò non sono in grado di calcolare $ E[X^2] $.
Come devo fare?
Grazie mille per le eventuali risposte
L'esercizio dice "Da un’urna contenente trenta palline che hanno stampato 1 e
cinque palline che hanno stampato 5 si estraggono senza reimmissione dieci
palline. Si indichi con X la somma dei numeri stampati sulle dieci palline
estratte
a) Calcolare la probabilità che X valga 10.
b) Calcolare il valore atteso di X.
c) Calcolare la varianza di X.".
Il punto che non riesco a risolvere è il punto c.
Il punto a non è funzionale al punto c.
Per il calcolo del punto b ho utilizzato $ E[X] =E[\sum_{k=1}^10X_k ] = \sum_{k=1}^10 E[X_k] = 110/7 $ dove $ X_k $ sarebbe la variabile che indica il numero che è uscito all'estrazione i-esima e $ E[X_k] = 1 P(X_k = 1) + 5 P(X_k = 5) = 30/35 + 25/35 = 11/7 $.
Avendo risolto il punto b sono passato al punto c per cui ho pensato di utilizzare la formula $ Var(X) = E[X^2] - E[X]^2 $, in alternativa avevo pensato di utilizzare la formula della varianza di una somma di v.a tuttavia non essendo indipendenti non possiamo dire nulla sulle covarianze che andrebbero calcolate, complicando ulteriormente le operazioni, perciò non sono in grado di calcolare $ E[X^2] $.
Come devo fare?
Grazie mille per le eventuali risposte