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Sempre sul compito che ho fatto stamani è uscita

Si consideri la v.a. $Z=X-Y/2$ dove X e Y sono variabili gaussiane a media unitaria e varianza 2 e con coefficiente di correlazione $ro=-0.25$ Calcolare:

a. la pdf di Z
b. $P({Z<-1})$

Per quanto riguarda il punti b ho risolto così:

Innanzitutto la media di $Z$ è:

$E[Z]=E[X]-(1/2)E[Y]=1-(1/2)+1=0.5$ dunque $Z$~$N(0.5, sigma_z^2)$

mi manca la varianza di Z ma sapendo che:

$ro=(C_x_y)/(sigma_x*sigma_y)$ si ricava$C_xy=2*2*(-0.25)=-1$

A questo punto si calcola la varianza di zeta così:

$sigma_z=E[(X-u_x-(Y/2)+(1/2)u_y)^2]=E[((X-u_x)-(1/2)(Y-u_y))^2]=sigma_x-C_x_y+(1/4)sigma_y=2-(-1)+(1/4)*2=3.5$ (quì ho commesso un errore di calcolo )

e dunque la v.a. è $Z$ ~ $N(0.5,3.5)$

dunque $P(Z<-1)=1-Q((z-u)/sigma_z)$ e quindi si vedono le tabelle.

E' corretto fin quì?
E per il primo punto?

Ahi ha scritto:
mi manca la varianza di Z ma sapendo che:

$ro=C_xy/(sigma_x*sigma_y)$ si ricava$C_xy=2*2*(-0.25)=-1$

Al denominatore hai gli scarti non le varianze, quindi devi sostituire $sqrt(2)$ e non 2

E io nel compito ho messo anche la formula vabbé sono stato bocciato, andrò meglio al prossimo appello
Il bello che per Z ho fatto la radice tutto come si doveva

Mentre la pdf è questa giusto

$f_z(z)=(1/(sqrt(2pi)*sigma_z))*e^((-1/2)*((z-u)/sigma_z))^2$

esatto

luca.barletta ha scritto:esatto

ciao luca, volevo chiederti una cosa inerente all'esercizio. Quando chiede la pdf della variabile Z, c'è una regola per dire che la Z è una variabile gaussiana, o basta che dire che sia una funzione di due variabili gaussiane?

bisogna dire che Z é una combinazione lineare di v.a. gaussiane, quindi gaussiana.

Scusate ma per caso è il teorema del limite centrale?

Lionel ha scritto:Scusate ma per caso è il teorema del limite centrale?

no, è tutt'altra cosa. Puoi guardare qui per un approfondimento.