limiti e probabilità

[Piera]

Sia $(X_n)$ una successione di variabili di Poisson di parametro 1 indipendenti ed identicamente distribuite.
(a) Dimostrare che $(sum_(i=1)^n X_i-n)/sqrtn$ converge in distribuzione ad una $N(0,1)$.
(b) Dedurre dal punto (a) che $lim_(n->+infty)e^(-n)(1+n+n^2/(2!)+...+n^n/(n!))=1/2$.

[luca.barletta]

(a) Per il CLT si ha:
$((sum_(i=1)^n X_i)/n-1)/(1/sqrtn)rarr Z$ dove $Z~ccN(0,1)$

(b) E' noto che date v.a. $X_i~Poisson(lambda_i)$ indip., allora $sum_(i=1)^n X_i ~ Poisson(sum_i lambda_i)$. Si sfutta questo fatto per notare che:
$lim_(nrarr+infty) e^(-n)(1+n+n^2/2+...+n^n/(n!))=lim_(nrarr+infty) Pr[sum_(i=1)^n X_i <= n]=$
$=lim_(nrarr+infty) Pr[sum_(i=1)^n X_i -n <= 0] = lim_(nrarr+infty) Pr[(sum_(i=1)^n X_i -n)/(sqrtn) <= 0]=$
$=(CLT)=Pr[Z<=0]=1/2$

[Piera]

Bene!