Distribuzione di probabilità dal grafico

[Lionel]

Salve ho la seguente funzione di distribuzione di probabilità



dal grafico come ricavo la forma analitica di tal funzione di distribuzione senza commettere errori??

Io ho fatto così:

$0$ se $x<0$
$(x-3/2)/4$ se $0<x<3$
$(x-9/2)/2$ se $3<x<6$
$(3/4)*(x-15/2)$ se $0<x<3$
$1$ se $x>1$

[codino75]

quella disegnata e' una funzione di ripartizione(forse si chiama anche funzione di distribuzione) )(non una densita' di probabilita'), ed e' costante a tratti (quindi la tua descrizione analitica non e' corretta in quanto ci hai messo dentro delle x, cioe' delle cose che non sono costanti)

[gugo82]

quella disegnata e' una funzione di ripartizione(forse si chiama anche funzione di distribuzione)

Confermo: funzione di distribuzione = funzione di ripartizione; nomenclatura diversa per lo stesso oggetto.

[Lionel]

Salve ho la seguente funzione di distribuzione di probabilità



dal grafico come ricavo la forma analitica di tal funzione di distribuzione senza commettere errori??

Io ho fatto così:

$0$ se $x<0$
$(x-3/2)/4$ se $0<x<3$
$(x-9/2)/2$ se $3<x<6$
$(3/4)*(x-15/2)$ se $0<x<3$
$1$ se $x>1$

Allora dovrà essere

$0$ se $x<0$
$0.25*u(x)$ se $0<x<3$
$0.50*u(x-3)$ se $3<x<6$
$0.75*u(x-6)$ se $0<x<3$
$1*u(x-9)$ se $x>1$

così se vado a derivare ottengo la densità di probabilità così:

$0$ se $x<0$
$0.25*delta(x)$ se $0<x<3$
$0.50*delta(x-3)$ se $3<x<6$
$0.75*delta(x-6)$ se $0<x<3$
$delta(x-9)$ se $x>1$

sempre se il mio ragionamento è corretto

[gugo82]

Quasi giusto...

Nelle assegnazioni che definiscono la distribuzione devi metterci i $le$ negli estremi sinistri degli intervallini (ad esempio $0le x<3$, $3le x <6$, ...) perchè la distribuzione $F$ deve essere una funzione continua a destra in ogni punto $x in RR$.

La derivata di $F$ la puoi esprimere direttamente come somma di $delta$ di Dirac: ogni $delta$ va centrata nel punto di discontinuità e moltiplicata per il salto relativo (ossia $f(x)=\sum_(k=1)^4(F(x_i)-F(x_i^-))*delta(x-x_i)$, ove $x_i$ sono i punti di discontinuità e $F(x_i)-F(x_i^-)$ il "salto" di $F$ in $x_i$).

[codino75]

Allora dovrà essere

$0$ se $x<0$
$0.25*u(x)$ se $0<x<3$
$0.50*u(x-3)$ se $3<x<6$
$0.75*u(x-6)$ se $0<x<3$
$1*u(x-9)$ se $x>1$

osservazione banale.
e' corretto, ma non necessario , utilizzare la funzione gradino per descrivere la funzione del disegno, almeno a mio modesto parere. bastava scrivere :
$0$ se $x<0$
$0.25$ se $0<x<3$
$0.50$ se $3<x<6$
$0.75$ se $6<x<9$
$1$ se $x>9$

[Nikilist]

Quasi giusto...

Nelle assegnazioni che definiscono la distribuzione devi metterci i ≤ negli estremi sinistri degli intervallini (ad esempio 0≤x<3, 3≤x<6, ...) perchè la distribuzione F deve essere una funzione continua a destra in ogni punto x∈ℝ.

La derivata di F la puoi esprimere direttamente come somma di δ di Dirac: ogni δ va centrata nel punto di discontinuità e moltiplicata per il salto relativo (ossia f(x)=∑k=14(F(xi)-F(xi-))⋅δ(x-xi), ove xi sono i punti di discontinuità e F(xi)-F(xi-) il "salto" di F in xi).

Quello è opinabile e questione di convenzione, l'importante è fare una scelta e esservi coerenti (o seguire quanto fa il prof ). La continuità a destra o a sinistra della distribuzione (come anche altri enti matematici importanti, come la trasformata di Fourier) non è univoca ma arbitraria.

[codino75]

Quasi giusto...

Nelle assegnazioni che definiscono la distribuzione devi metterci i ≤ negli estremi sinistri degli intervallini (ad esempio 0≤x<3, 3≤x<6, ...) perchè la distribuzione F deve essere una funzione continua a destra in ogni punto x∈ℝ.

La derivata di F la puoi esprimere direttamente come somma di δ di Dirac: ogni δ va centrata nel punto di discontinuità e moltiplicata per il salto relativo (ossia f(x)=∑k=14(F(xi)-F(xi-))⋅δ(x-xi), ove xi sono i punti di discontinuità e F(xi)-F(xi-) il "salto" di F in xi).

Quello è opinabile e questione di convenzione, l'importante è fare una scelta e esservi coerenti (o seguire quanto fa il prof ). La continuità a destra o a sinistra della distribuzione (come anche altri enti matematici importanti, come la trasformata di Fourier) non è univoca ma arbitraria.

in realta' anche io ho sempre trovato che nella "definizione" di funz. di distribuzione si richiede la continuita' da destra.

[Lionel]

Allora dovrà essere

$0$ se $x<0$
$0.25*u(x)$ se $0<x<3$
$0.50*u(x-3)$ se $3<x<6$
$0.75*u(x-6)$ se $0<x<3$
$1*u(x-9)$ se $x>1$

osservazione banale.
e' corretto, ma non necessario , utilizzare la funzione gradino per descrivere la funzione del disegno, almeno a mio modesto parere. bastava scrivere :
$0$ se $x<0$
$0.25$ se $0<x<3$
$0.50$ se $3<x<6$
$0.75$ se $6<x<9$
$1$ se $x>9$

sì solo che però dopo devo fare una sostituzione per $x=y/2$:

$0$ se $y<0$
$0.25*u(y/2)$ se $0<y<6$
$0.50*u(y/2-3)$ se $6<y<12$
$0.75*u(y/2-6)$ se $12<y<18$
$1*u(y/2-9)$ se $y>18$

dopodiché derivare

$0$ se $y<0$
$0.25*delta(y/2)$ se $0<y<6$
$0.50*delta(y/2-3)$ se $6<y<12$
$0.75*delta(y/2-6)$ se $12<y<18$
$1*delta(y/2-9)$ se $y>18$

a questo punto applico il cambiamento di scala

$0.50*delta(y)$ se $0<y<6$
$1*delta(y-6)$ se $6<y<12$
$1.50*delta(y-12)$ se $12<y<18$
$2*delta(y-18)$ se $y>18$

e alla fine ne dovrei calcolare la media...solo che mi viene: $u_y=0+6+18+36=60$ non credo sia possibile. Dove commetto errori?

[codino75]

$1*delta(y/2-9)$ se $y>18$
Dove commetto errori?

forse ,"per intanto", li', in quanto il salto da un gradino all'altro dovrebbe essere di 0.25