Catene di Markov

[Chiara87]

Devo calcolare il periodo di ogni stato di queste due catene di Markov:

1)

$P = [(0, \quad 1/2, \quad 1/2),(3/4, \quad 0, \quad 1/4),(3/4, \quad 1/4, \quad 0)]$

Gli stati si chiamano A, B, C

2)

$P = [(0.90, \quad 0.10, \quad 0.00, \quad 0.00),(0.80, \quad 0.00, \quad 0.20, \quad 0.00), (0.50, \quad 0.00, \quad 0.00, \quad 0.50), (0.10, \quad 0.00, \quad 0.00, \quad 0.90)]$

Gli stati si chiamano 1, 2, 3, 4

Mi sapete dire come si fa??

Spero che possiate darmi una mano, grazie 1000

[clrscr]

Ciao.
Innazitutto il periodo di ogni stato (che indicherò con $d(i)$ riferito allo stato $i$), è definito come $M.c.d {n: P_(ii)^((n))>0}$.
Ti consiglio di far il diagramma degli stati con tutte le probabilità di transizione.
Per lo stato "0" si può osservare che:
$ {n : P_(00)^((n))>0}={2, 3, 4, 5, ....} $ in quanto c'è lo stato "1" che permette di ottenere tutti i valori di "n". Dunque il M.c.d dell'insieme descritto è indubbiamente "1".

Per lo stato "1":
si vede che gli "n" per i quali la probabilità di transizione $P_(11)^((n))>0$ sono multipli di "1", da cui il periodo.

Per lo stato "2" il ragionamento è analogo per lo stato "0".

[clrscr]

Per il secondo esercizio si ragiona analogemente al primo.
Per lo stato 1:
visto che la probabilità di tornare in se stesso è non nulla posso già dire che il periodo dello stato "1" è uno.

Stato 2:
lo stato presenta per ogni $n>=2$, $P_(22)^((n))>0$ quindi anche per questo stato il periodo è "1"

Stato 3:
presenta per ogni $n>=3$ ,$P_(33)^((n))>0$ quindi anch'esso presenta periodo unitario.

Stato 4:
è lo stesso ragionamento per lo stato 1.

[Chiara87]

Grazie, ma non mi è ancora chiaro il periodo dell'esercizio 1...

Non sarebbe periodo 2, in quanto se parto dallo stato A per ritornare sempre in A devo compiere un numero pari di passi?

cioè:

$ I_j = {n : P_(jj)^((n))>0}={2, 4, 6, 8, ....}$

Quindi il MCD è 2..

Per il secondo esercizio anche a me viene periodo 1 per ogni stato, ma ho fatto riferimento ad un teorema:

Stato 1 e stato 4 hanno periodo 1 visto che $p_(11)>0$ e $p_(44)>0$. Siccome tutti gli stati comunicano con 1 quindi tutti gli stati hanno stesso periodo.
Può andare bene anche così come soluzione?

[Chiara87]

Ho problemi anche con questo esercizio:

Data la seguente matrice di transizione, classificare gli stati della catena e determinare tutte le classi chiuse e irriducibili

$P = [(0.95, \quad 0.05, \quad 0, \quad 0, \quad 0, \quad 0),(0.25, \quad 0.75, \quad 0, \quad 0, \quad 0, \quad 0),(0, \quad 0, \quad 0.3, \quad 0.45, \quad 0.2, \quad 0.05),(0.4, \quad 0, \quad 0, \quad 0.5, \quad 0.05, \quad 0.05),(0, \quad 0, \quad 0.05, \quad 0.9, \quad 0.05, \quad 0),(0, \quad 0, \quad 0, \quad 0, \quad 0, \quad 1)]$

NB. Gli stati si chiamano 1, 2, 3, 4, 5, 6

Lo stato 6 è uno stato assorbente, gli stati 1 e 2 sono ricorrenti...ma gli altri stati 3-4-5? Sono anche loro ricorrenti?

6 siccome è uno stato assorbente forma una classe chiusa e irriducibile, 1 e 2 formano una classe chiusa e irriducibile, ce ne sono delle altre?

Grazie mille per la pazienza

[clrscr]

Ciao...
Si si, per il primo esercizio hai pienemante ragione, mi devo essere sbagliato. Per quanto ruguarda il secondo la tua conclusione mi sembra più che accettabile, hai solamente applicato un teorema, che comunque è in accordo con quanto detto.

[clrscr]

Nel nuovo esercizio....azzarderei dire che gli stati 3, 4, 5 sono ricorrenti visto che la probabilità di ritornare in se stessi partendo da se stessi è non nulla (come del resto con tutti gli altri stati)