Esercizio curve esponenziali

[Sol]

Il problema è il seguente:
ho due variabili X e Y distribuite secondo due esponenziali e voglio calcolare la distribuzione di Z dove Z=X -Y.

[elgiovo]

La soluzione è la seguente:
trova la distribuzione di $-Y$ (ti assicuro che non è difficile) e convolvi le distribuzioni di $X$ e $-Y$ (dal momento che $Z=X+(-Y)$).

PS: sempre che le due variabili siano indipendenti. Altrimenti devi ricorrere a un altro integrale.

[Sol]

Diciamo che il problema è un pò più complesso di come l'ho spiegato in realtà io avrei Z=X+Y e nel caso specifico conosco la densità di z e conosco quella di Y . Quindi se dico di conoscere quella di Z fignifica che fz(z) atro non è che la densità della somma di due esponenziali ( come si scrivono i simboli ?) provo a spiegarmi come posso fz(z)= c^2*z*exp(-c*z) questo è quello che ottengo se convolvo due esponenziali nella loro somma. Adesso io ho pensato di fare questo integro tra zero ed infinito le seguenti due densità quella di z e quella di y ( che so essere un'esponenziale) dunque integro questo prodotto:
(c*exp(-cx))*(x+y)*(c^2)*exp(-c*(x+y)) , volendo possiamo fare la convoluzione dall'altra parte cioè ribaltando la fz e dunque si cambiano gli estremi che vanno da -infinito a zero ed ovviamente sta volta la fy(y) deve essere un'esponenziale negativa quindi io farei così:
integrale da meno infinito a zero di (c*exp(cy))*(c^2)*(x-y)*(-c*(x-y)).
Secondo te può funzionare?Spero si capisca qualcosa[/chesspos][/asvg][/spoiler][/code]

[elgiovo]

Per le formule guarda qui.
Se non ho capito male (cosa assai... probabile!) conosci $f_Z(z)=c^2ze^(-cz)u_(-1)(z)$ e $f_Y(y)=ce^(-cy)u_(-1)(y)$ e devi determinare $f_X(x)$.
Come ho detto prima, se le variabili sono indipendenti, puoi trovare $f_X(x)=f_(Z-Y)(x)$ per convoluzione. Infatti $f_(-Y)(y)=f_Y(-y)=ce^(cy)u_(-1)(-y)$, e $f_X(x)=(f_(-Y)**f_Z)(x)=int_(-oo)^(oo)ce^(-cy)u_(-1)(y) c^2(x-y)e^(-c(x-y))u_(-1)(x-y)"d"y$. Mi sembra che tu abbia già intuito che anche $X$ è distribuita esponenzialmente. Infatti procedendo a ritroso si vede che $(f_X ** f_Y)(z)=c^2ze^(-cz)u_(-1)(z)$, da cui $f_X(x)=ce^(-cx)u_(-1)(x)$, evitando il noioso integrale poco sopra.

[Sol]

Per le formule guarda qui.
Se non ho capito male (cosa assai... probabile!) conosci $f_Z(z)=c^2ze^(-cz)u_(-1)(z)$ e $f_Y(y)=ce^(-cy)u_(-1)(y)$ e devi determinare $f_X(x)$.
Come ho detto prima, se le variabili sono indipendenti, puoi trovare $f_X(x)=f_(Z-Y)(x)$ per convoluzione. Infatti $f_(-Y)(y)=f_Y(-y)=ce^(cy)u_(-1)(-y)$, e $f_X(x)=(f_(-Y)**f_Z)(x)=int_(-oo)^(oo)ce^(-cy)u_(-1)(y) c^2(x-y)e^(-c(x-y))u_(-1)(x-y)"d"y$. Mi sembra che tu abbia già intuito che anche $X$ è distribuita esponenzialmente. Infatti procedendo a ritroso si vede che $(f_X ** f_Y)(z)=c^2ze^(-cz)u_(-1)(z)$, da cui $f_X(x)=ce^(-cx)u_(-1)(x)$, evitando il noioso integrale poco sopra.

Hai capito bene, vedi io so che Z=X+Y e conosco ovviamente fZ(z) dal momento che immagino X e Y distribuite esponenzialmente e come noi sappiamo bene da densità della somma di due esponenziali è una convoluzione semplicissima. Allora il punto sta nel convovere Z con -Y dato che io voglio sapere la densità di x ( in realtà il problema riguarda il calcolo della densità dei tempi attesi in coda io sto usando le variabili X e Y perchè così ci capiamo meglio). Quindi l'integrale che hai scritto te va bene ma secondo me va fatto da meno infinito a zero perchè fY(y) è un esponenziale negativo quindi dovresti avere c*e^(+cy) non -cy. Cioè metterei l'esponenziale con -cy se facessi l'integrale da zero a infinito nel qual caso nella densità di z metterei (x+y). In ogni caso sei gentilissimo nel rispondere e ti ringrazio molto per questo. Purtroppo l'argomento è di una banalità incredibile ma è proprio su queste cose che si sbatte la testa.

[Sol]

Facendo l'integrale dovrei ottenere un bell'esponenziale peccato che l'ho svolto in tutte le salse e non riesco affatto ad ottenere un esponenziale secco.