palline palline palline

[Marione]

Salve a tutti,
una domanda molto stupida , supponete di avere un’urna contenente n palline nere e b palline bianche. Supponendo che tutte le palline siano equiprobabili, vi chiedo il numero medio di estrazioni dall’urna necessari per estrarre tutte le palline nere.

Grazie,
Marione

[codino75]

con n+b estrazioni ho la certezza di estrarre tutte le palline nere

[erikkk]

allora..la probabilità che ti servano $t$ estrazioni per estrarre tutte le nere è $\frac{n!b(b-1)...(b-(t-n)+1)}{(n+b)(n+b-1)...(n+b-t+1)}((t-1),(n-1))$ (nel coefficiente binomiale faccio variare $n-1$ palline nere in $t-1$ estrazioni, perchè l'ultima estrazione è fissata, cioè forzatamente nera); ora semplificando si ottiene $\frac{n!b!}{(n+b)!}((t-1),(n-1))$. Ora per trovare la media basta fare $\sum_{t=n}^{n+b}\frac{n!b!}{(n+b)!}t((t-1),(n-1))$ che con un po' di passaggi risulta uguale a $\frac{(n+b+1)n}{n+1}$. se ti sfugge qualcosa chiedimi pure

[codino75]

che con un po' di passaggi risulta uguale a $\frac{(n+b+1)n}{n+1}$. se ti sfugge qualcosa chiedimi pure

scusa, non ho capito cosa rappresenta qsta quantita'.
grazie ciao

[Marione]

allora..la probabilità che ti servano $t$ estrazioni per estrarre tutte le nere è $\frac{n!b(b-1)...(b-(t-n)+1)}{(n+b)(n+b-1)...(n+b-t+1)}((t-1),(n-1))$ (nel coefficiente binomiale faccio variare $n-1$ palline nere in $t-1$ estrazioni, perchè l'ultima estrazione è fissata, cioè forzatamente nera); ora semplificando si ottiene $\frac{n!b!}{(n+b)!}((t-1),(n-1))$. Ora per trovare la media basta fare $\sum_{t=n}^{n+b}\frac{n!b!}{(n+b)!}t((t-1),(n-1))$ che con un po' di passaggi risulta uguale a $\frac{(n+b+1)n}{n+1}$. se ti sfugge qualcosa chiedimi pure

Come si dice a roma: "famose a fidà"

[clrscr]

Io ho rgionato nel seguente modo:
Calcoliamo la probabilità che alla K-esima estrazione si estraggono tute le palline nere. Ovviamnete con $k>=n$.
Dunque la probabilità sarà pari a:
$P[\text{nelle "k-1" estrazioni si estraggono tutte le "n" palline nere e ci siano "k-n" palline bianche]$*$P[\text{l'ultima pallina sia nera delle "n+b-k+1" rimaste}]$. Dunque:
$P[\text{nelle "k-1" estrazioni si estraggono tutte le "n" palline nere e ci siano "k-n" palline bianche}]=(((n),(n-1))*((b),(k-n)))/(((n+b),(k-1)))$.

Mentre:
$P[\text{l'ultima pallina sia nera delle "n+b-k+1" rimaste}]=1/(n+b-k+1)$

[erikkk]

Quella quantità rappresenta la media delle palline che devi estrarre per estrarre dall'urna tutte le nere; ad esempio per $n=5$ e $b=7$ dovrai estrarre mediamente $\frac{(5+7+1)5}{5+1}=10.83$ palline.

[codino75]

Quella quantità rappresenta la media delle palline che devi estrarre per estrarre dall'urna tutte le nere; ad esempio per $n=5$ e $b=7$ dovrai estrarre mediamente $\frac{(5+7+1)5}{5+1}=10.83$ palline.

ok ci ragiono sopra.

[triago]

La variabile aleatoria in questione, conta il numero di insuccessi prima di estrarre tutte le palline nere.
Questa variabile segue la distribuzione "binomiale negativa", cercala su un qualsiasi libro di calcolo delle
probabilità e la risposta è immediata.