esercizio sugli stimatori dato all'esame del 6/6/08

[esteta_edonista]

Allora l'esercizio non riesco proprio a risolverlo...Non so da che parte rifarmi

Sia ($X_1$, $X_2$, $X_3$,$X_4$) un campione casuale di v.c campionarie normali con valore atteso 4 e varianza 36 e si consideri la media campionaria $\bar X$ relativa a tale campione.Calcolare:
a)P(1<$X_l$<7)
b)P($\bar X$<16)



Allora: io non so da che parte rifarmi....Perchè $X_l$ credo sia la variabile casuale generica giusto? (l'esercizio non fornisce informazioni riguardo all'indice ma suppongo che sia l=1,2,3,4).

Come si fa a calcolare la probabilità senza conoscere niente sulla sua distribuzione di probabilità??? Senza conoscere niente su come è fatta la funzione di densità??? Ma soprattutto rendendo impossibile l'utilizzo del teorema del limite centrale che si può utilizzare solo per un numero di osservazioni che sia maggiore di 30?




PS: con questa frase spero di non andare fuori regolamento...Chiedo solo un favore a chi sa risolvere questo esercizio: se qualcuno sa la procedura, se me la dice mi fa un favore grosso grosso...Che ho l'esame di statistica lunedì. Aspetto chiarimenti. Ciao

[Andrea2976]

Per il primo punto c'è solo da calcolare, o meglio approssimare un integrale, sapendo che la v.a. X è normale "dovresti" conoscere la densità associata.
Per il secondo punto, avendo a disposizione un campione significa che le v.a. sono i.i.d. essendo normali si ha che la media campionaria è ancora una v.a. normale devi solo trovare i nuovi parametri, poi il calcolo procede in modo standard cioè con un integrale unidimensionale.

[esteta_edonista]

Quindi nel secondo punto si procede con il calcolo avendo a disposizione Mi e (sigma^2)/n. Giusto?

[Andrea2976]

Giusto.
Piccolo aiuto per non perdersi, il secondo punto chiede di calcolare la funzione di ripartizione di una normale,
con i parametri che tu hai identificato, nel punto 16...
la probabilità che una generica normale sia minore della propria media è...

Buon lavoro!

[esteta_edonista]

Spero dunque dopo questi aiuti di esserci arrivato (non so se la soluzione sia corretta, aspetto conferma)

quindi in teoria mi ricavo la normale standardizzata così: Z= (X- $\mu$ )/($\sigma$/$sqrt(n)$) che in questo caso essendo il parametro della popolazione $\mu$ ignoto, e lo stesso per la varianza, sono entrambi stimati da $\bar X$=36 e da $s^2$ =4 .

La normale standardizzata diviene dunque per una qualunque variabile: Z= (X-$\bar X$)/(s/$sqrt(n)$)


quindi per la v.c X=1 : abbiamo Z = (1-4)/(6/2)=-1
per X=7: abbiamo Z= (7-4)/(6/2)=1


a)P(1<X<7) = $\Phi$ (1)-$\Phi$ (-1)= 2$\Phi$ (1)-1= 0.68269

b) P($\bar X$<16) = F(16) = $\Phi$((16-4)/3)=$\Phi$(4)$~=$ 1



(Spero di aver fatto bene!!!)

[Andrea2976]

Forse ti complichi un pochino le cose.
Nel testo non avevi scritto che il campione era normale con parametri $\mu=4$ e $\sigma^2=36$?
Per quanto riguarda la seconda domanda ti viene che la media campionaria è ancora una variabile aleatoria normale
di parametri $\mu=16$ e $\sigma^2=204=36*4$ per l'indipendenza dato che lavori su di un campione.
Quindi la probabilità che una v.a. normale sia minore della propria media è $1/2$, nel tuo caso
$P(\bar(X)<16)=1/2$, è solo una questione di simmetria la varianza non conta.


Per il primo va bene standardizzare ma c'è un $2$ di troppo, il campione è unitario.




Volendo puoi standardizzare la media campionaria anche nel secondo esercizio, alla fine ritorna sempre la stessa cosa.