da Maverick » 11/12/2004, 19:59
non conosco il libro che hai nominato, quello che so è che in italiano c'è ben poca letteratura per quello che riguarda la probabilità e la statistica. l'unico libro di mia conoscenza è il baldi, della McGrow-Hill (non mi ricordo il titolo esatto ma potrebbe essere qualcosa tipo "Statistica e probabilità")
potresti andare su qualche testo tipo il Feller, il Ross, oppure il Rohatgi, che anche se è un po' vecchiotto (ti conviene cercarlo in qualche biblioteca) nella prima parte fa una bella introduzione alla probabilità.
cmq detta in soldoni la storia dello spazio probabilizzato è questa:
tu hai un esperimento aleatorio, che genera un risultato, che è uno degli "eventi elementari" che vanno a formare omega. nel caso di varibili aleatorie discrete omega potrebbe essere N, come potrebbe essere R nel caso di variabili continue.
poi tu ti chiedi quali siano gli eventi a cui vuoi assegnare una probabilità (che per ora non sai ancora formalmente cos'è).
di sicuro fai queste richieste intuitive:
se posso assegnare la probabilità al verificarsi di un evento, devo poter assegnare la probabilità anche al NON verificarsi dell'evento.
se posso assegnare la probabilità al verificarsi di due eventi, volgio assegnare la probabilità al verificarsi di entrambi o ad almeno uno dei due.
già che lo posso fare con 2, lo voglio fare con una infinità numerabile... (sembra una richiesta strana, ma in realtà è sensatissima se ci pensi)
poi, giusto per non avere problemi, l'insieme di tutti gli eventi a cui voglio assegnare una probabilità lo voglio non vuoto, così ci metto l'insieme vuoto di default (n.b. un insieme contenente un insieme vuoto non è l'insieme vuoto)
se vai da un matematico e gli dici che vuoi un insieme fatto così, quello ti dice: "allora tu vuoi una sigma-algebra!"
cioè l'insieme degli eventi su cui assegnare una probabilità deve essere:
-non vuoto
-chiso rispetto alla complementazione
-chiuso rispetto alle unioni numerabili (il che insieme alla complementazione con una banale applicazione delle leggi di de morgan ti fornisce la chiusura rispetto all'intersezione e ti pemette di avere la chiusura rispetto alla differenza insiemistica)
a questo punto tu hai il tuo omega e la tua sigma-algebra, cioè l'insieme degli eventi a cui assegnare una probabilità
quello che ti manca è una probabilità
anche in questo caso fai delle richieste intuitive:
vuoi che la probabilità associata ad un certo evento sia sempre >=0, in quanto non ha senso definire una probabilità negativa.
poi vuoi che se hai due insiemi disgiunti A e B con rispettive probabilità P(A) e P(B), allora la probabilità dell'unione sia la somma delle probabilità. anche in questo caso, già che ci sei, lo richiedi per una infinità numerabile di eventi.
poi per semplificarti la vita poni che la probabilità oltre che >=0 sia anche <=1, e che la probabilità dell'insieme vuoto sia 0 e che la probabilità di omega sia 1.
se ora vai dal matematico di prima e gli chiedi un oggetto con queste caratteristiche lui di dice "ah, ma allora tu vuoi anche una misura!", in quanto tu gli hai chiesto una funzione che mappa un insieme su dei reali positivi e che sia numerabilmente additiva.
addesso metti insieme il tuo omega, la tua sigma algebra, e la tua misura e hai uno spazio probabilizzato.
il discorso sulla sigma algebra da assegnare poi non è banale. per quello che riguarda le variabili aleatorie discrete puoi permetterti di prendere l'insieme delle parti di omega, che taglia la testa la toro e assegna una probabilità a qualunque sottoinsieme di omega.
la probabilità poi anche in questo è facile, in quanto puoi assegnare le probabilità ai singoli eventi.
nel caso continuo hai invece molti problemi, avrai sentito parlare della sigma algebra dei boreliani, questi sconosciuti, e ti sarai chiesto il perchè. il discorso è un po' lungo, magari lo affrontiamo in seguito. per ora medita su queste cose...
