Martingale e rovina (?) del giocatore

[seascoli]

Vorrei proporre l'analisi di una "martingala".
Una martingala è un metodo di gioco che prevede un rialzo costante della posta nell'inseguimento "ad libitum" di un evento, come ad esempio, il rosso e nero della roulette o l'uscita del 47 sulla ruota di Napoli (un numero singolo viene pagato dal Lotto 11 volte, tolte le tasse). In questo caso si ha insomma Q=11 (fattore di vincita lorda) , ma è p=1/18 (probabilità che ad ogni estrazione esca il dato numero sulla data ruota). Quindi il gioco è fortemente iniquo dato che $V = pQ-1<0$, mentre il gioco equo richiede $pQ=1$.
Nel Lotto, insomma, il "vantaggio" del giocatore sul banco in questo caso (47 sulla ruota di Napoli) è quindi
$V=11xx(1/18) -1 = -7/18 = -0,39$ circa.
Insomma nel lungo termine il giocatore deve attendersi di perdere il 39% di tutto ciò che punta al botteghino.
Ecco perchè il Lotto fa tanti soldi alle spalle degli ingenui! Si noti che per terne, quaterne e cinquine le cose peggiorano, e di molto!

Bene, torniamo ora alla nostra giocata alla martingala (una serie di poste consecutive fatte con un rialzo progressivo fino a che non esce l'evento atteso). Definisco come martingala la seguente successione di poste:
$1, r-1, (r-1)r, (r-1)r^2, (r-1)r^3, ...., (r-1)r^k, ......$ etc. con $r>1$ (r = rialzo della posta).
Esclusa la prima posta $P_1=1$, le successive formano una progressione geometrica di ragione $r$ e sono date dalla semplice formula
$ P_k=(r-1)r^(k-1) (k=2,3,4,...)$.
Pongo ora 3 quesiti sulla giocata a martingala.
a) qual é la spesa $S_k$ da sostenere per "reggere" fino alla k.ma puntata?
b) qual é la vincita netta $W_k$ se si vince alla k.ma puntata? Supponiamo sia Q il fattore di vincita lorda.
c) Quanto dura in media una giocata se l'evento su cui si punta ha prob. $p$ ?
S'intende che la giocata viene protratta fino a che l'evento atteso non esce.
Se si risponde a questi quesiti (il terzo è un po' più difficile perchè occorre calcolare la distribuzione di probabilità delle "durate" di una giocata) allora si potrà passare ad altri quesiti (vi prometto della roba forte!).

[Cheguevilla]

a) è la somma della progressione geometrica +1.
Supponendo di cominciare dal secondo elemento:
$S_k=(r-1)(1-r^(k+1))/(1-r)+1=r^(k+1)$

b) la vincita netta sarà la differenza tra la vincita lorda e la spesa totale fino alla puntata $k$.
Quindi:
$W_k=Q(r-1)^(k-1)-r^(k+1)$

c) trattandosi di una variabile aleatoria geometrica, la media si può calcolare come $(1-p)/p$.

Qualche dubbio mi resta perchè sono le due di notte e ho finito la pozione magica...

[seascoli]

La k.ma posta è $P_k=(r-1)r^(k-1)$
Quindi: $S_k= P_1+P_2+....+P_k=r^k$, non $r^(k+1)$ [1.a piccola correzione ai risultati di Cheguevilla]
Ne segue
$W_k-=QP_k-S_k=Q(r-1)r^(k-1)-S_k=gr^k=gS_k$
avendo posto:
$g=Q(1-1/r)-1$ ____(fattore di guadagno, o profitto percentuale).

Quindi se $r > Q/(Q-1)$ risulta $g>0$ e in qualunque momento si vinca si realizza un utile pari a $g$ volte l'intera spesa sostenuta.
Giusto?
Per esempio, tornando al Lotto (si gioca il 47 sulla ruota di Napoli), il rialzo da superare per garantirsi un utile è
$r_{MIN}=Q/(Q-1)=11/10=1,10$
Uno potrebbe scegliere ad esempio r=1.125 e puntare poste del tipo
Euro: ${8, 1, 1.125, 1.125^2, 1.125^3, .... }$
Alla fine quando esce il 47, in qualunque momento esca, avrà realizzato un profitto pari al 22,2% del capitale speso.
Infatti qui si ha: $g=2/9$
Ma quanto si deve aspettare per vedere uscire il 47 sulla ruota di Napoli? In media 18 estrazioni.
Infatti (2.a piccola correzione ai risultati di Cheguevilla) la durata media di una giocata è, se non sbaglio:
$E(D)=1/p$ e non $(1-p)/p$
D'accordo invece sul fatto che si tratta della "distribuzione geometrica".
Si comincia ad intravedere il risultato "forte"?

[Cheguevilla]

In entrambi i casi ho commesso un "errore di zero", come si dice in programmazione.
Come temevo.

Il risultato forte, secondo me, è sempre quello connesso alla variabile aleatoria geometrica, ovvero il fatto che sia potenzialmente illimitata e che il 47 sulla ruota di Napoli potrebbe anche non uscire mai più.
D'altra parte, perchè un morto dovrebbe parlare?

Scherzi a parte, un altro risultato "forte" potrebbe essere che $g$ è strettamente dipendente da $r$ e che la quantità di denaro che ciascuno potrebbe puntare è limitata.
Pertanto, ci si potrebbe far spingere dall'idea che "mediamente" il 47 esce intorno alla 18° puntata e calcolare la prima puntata in modo da "investire" tutti i soldi a disposizione in questa operazione, sperando di incrementare il profitto.
Tuttavia, anche il tacchino di Russel alle 15 della vigilia di natale aspettava il suo "47"; senza sapere che lui stesso sarebbe diventato il 47...

[seascoli]

Il risultato forte è il seguente.
"A prescindere da quanto sia svantaggiosa una scommessa elementare (come puntare sul 47 sulla ruota di Napoli), quando si segue un piano di gioco a martingala in cui si ripete la puntata rialzando la posta fino al successo, il giocatore passa in vantaggio rispetto al Banco, purchè le poste vengano via via rialzate di un fattore costante $r > Q/(Q-1)$".
Questo è uno strano risultato perchè d'altra parte esiste anche un altro risultato, che io chiamo "teorema della tara" che dice:
"Se la scommessa elementare è svantaggiosa (V=pQ-1<0), tale sarà, e nella stessa misura, qualsiasi piano di gioco basato sulla ripetizione di quella scommessa, qualunque sia il sistema di poste che si escogita".
Il fatto è, però, che detto teorema, un po' come la legge dei Grandi Numeri, vale solo quando esiste finito il valore aspettato della spesa totale sostenuta dal giocatore (secondo la distribuzione di probabilità geometrica). Quindi il teorema della tara non vale se il valore aspettato della spesa non è finito. E il caso della martingala è proprio uno di quelli.
Infatti si può dimostrare che se il rialzo r delle poste supera la soglia $1/(1-p)$, il valore aspettato della spesa da affrontare diventa infinito. Ma ciò non garantisce ancora un guadagno $g$ positivo. Solo quando r supera l'altra soglia $Q/(Q-1)$, allora $g$ diventa positivo. In tali condizioni è pari a $+\infty$ non solo il valor medio della spesa ma anche quello della vincita netta (che è sempre uguale a $g$ volte la spesa totale). Perchè allora è sconsigliabile giocare?
Io ho simulato un gioco del genere sul computer (darò i dettagli domani) e sto ancora aspettando di vedere un motivo per cui una simile martingala sia poco raccomandabile.
Si può calcolare anche la varianza della durata di una giocata che è
$\sigma^2= (1-p)/(p^2)$
Per il 47 su Napoli si ha quindi una deviazione standard pari circa a 17,5 per cui con probabilità pari al 90% occorrerà aspettare in media meno di 40 estrazioni prima di veder uscire il 47. E se il gioco dura 40 estrazioni la spesa totale da sostenere è solo $(1.125)^40=111,20 euro$.
Mica tanto come spesa da affrontare! Comunque rigiro la questione, non riesco a vedere controindicazioni.
C'è qualcuno che può indicarmi dove sbaglio (ammesso che uno sbaglio ci sia) ?

[Cheguevilla]

Non sono sicuro che al lotto si possano puntare frazioni di euro, quindi i rialzi comincerebbero a diventare consistenti.
Inoltre, credo che ci sia un limite alla singola puntata.
Non conosco bene i dettagli del lotto.

[seascoli]

Beh, non è questo il problema! Magari fosse solo questo.
Intanto mi correggo: 111,20 euro NON è il totale delle poste fino alla 41.a puntata (inclusa) , bensì è l'ammontare della sola 41.ma posta nel caso il 47 non sia uscito nel corso delle previe 40 estrazioni. Sommando tutte le puntate precedenti fino alla 41.ma inclusa, si ottiene un totale vicinisssimo a 1000 euro.
La risposta alle tue obiezioni è facile:
A) Se nel calcolare la posta ti vengono frazioni di euro si arrotonda al mezzo euro più vicino
B) Se putacaso si arrivasse a dover puntare, che so, 1000 euro, basta fare 10 puntate separate su 10 ricevitorie diverse.
Ma, come ho mostrato, c'è una probabilità del 90% che la giocata finisca entro 40 estrazioni!
Comunque, anche se si perdono le prime 40 puntate, la posta da giocare subito dopo è circa 111 euro.
Niente di trascendentale!, mi pare.

[Cheguevilla]

Non lo so, ma il discorso sulla media mi convince poco.
Possiamo accettare pacificamente tutti i discorsi sulla media, e sul fatto che, in media, il 47 uscirà dopo 40 estrazioni nel 90% dei casi, ma secondo me sono discorsi un po' troppo ipotetici.
Io sono dell'idea che ogni estrazione sia una storia a sè, e che ad ogni estrazione il giocatore abbia le stesse probabilità di vincere o perdere.
Insomma, sappiamo che la V.A. geometrica gode della seguente proprietà:
$P(X>=a+b|X>=a)=P(X>=b)$

È lo stesso principio per cui non ha senso giocare i "numeri ritardatari".
Ad esempio, questo stesso principio ci dice che si può andare ben oltre le 40 puntate medie.
Numeri ritardatari

[Umby]

"Se la scommessa elementare è svantaggiosa (V=pQ-1<0), tale sarà, e nella stessa misura, qualsiasi piano di gioco basato sulla ripetizione di quella scommessa, qualunque sia il sistema di poste che si escogita".

D'accordo con questa analisi.
Per quante possono essere molteplici le scommesse, non saranno mai infinite.

[Cheguevilla]

Analogamente a quanto detto sopra, non fa nessuna differenza il numero giocato nella martingala.
Ad esempio, seascoli ha preso il caso della ripetizione della puntata sul 47, ma se anche si scegliesse un numero diverso ad ogni estrazione, la probabilità della singola estrazione non cambierebbe. Inoltre, non cambierebbe neppure la struttura della martingala, poichè la variabile aleatoria assume sempre la stessa forma e la probabilità è sempre $p$.
Forse, trae d'inganno l'idea che puntare lo stesso numero aumenti le probabilità dell'uscita di quel numero, ma spero sia chiaro che l'evento modellizzato da seascoli non è "l'uscita del 47", ma è "la vincita", indipendentemente dal numero puntato che può cambiare ogni volta senza alterare in minima parte il modello.