Calcolo delle probabilità

Messaggioda ricciolo » 05/04/2005, 12:07

Ringrazio chiunque voglia aiutarmi con questi esercizi (lo so che sono tanti!)

Quesito 1: Un gioco si svolge in questo modo: si lancia un dado e se esce uno si vince subito, altrimenti se esce un altro numero dispari, si estrae da un mazzo di carte napoletane e si vince se la carta estratta risulta essere di denari. In tutti gli altri casi si perde. Se un giocatore scommette 1000 lire, quanto deve guadagnare, in caso di vittoria, perchè il gioco sia equo (ossia alla lunga il giocatore si trovi in pareggio)?

Quesito 2:Un'urna contiene 6 palline bianche e una nera. Se si estrae dall'urna una pallina alla volta senza reinserimanto quale è la probabilità di estrarre la pallina nera dopo avere estratto almeno due palline bianche?

Quesito 3:Giochiamo al gioco della zingara. Abbiamo 7 carte coperte, ne estraiamo una e se questa risulta essere la luna nera, che è sempre tra le 7, il nosrto capitale viene dimezzato altrimenti ci viene proposto un indovinello e, se rispondiamo correttamente, il nostro capitale viene raddoppiato. A questo punto possiamo decidere se fermarci e tenerci il capitale raddoppiato oppure continuare a giocare partendo da 6 carte coperte e giocando con le stesse modalità. Se la probabilità di rispondere a ciascun indovinello è di 4/5 e il nostro obbiettivo è di arrivare a 32 volte il capitale iniziale, che probabilità abbiamo di vincere?
a)(3/7)(4/5)^5
b)(2/7)(4/5)^3
c)(3/7)(3/5)^5
c)(2/7)(4/5)^5

Quesito 4: Siamo alla vigilia della partita Italia-Francia. La probabilità del passaggio del turno per l'Italia è 2/5, quella per la Francia di 3/5. Ammesso di sapere che l'Italia ha passato il turno, la probabilità che Vieri abbia segnato è di 2/3. Sapendo, invece, che è stata la Francia a passare il turno la probabilità che Vieri abbia segnato è 1/3. Quale è la probabilità che Vieri abbia segnato visto che non sappiamo ancora il risultato della partita?

Quesito 5: Marco Pantani va a giocare alla roulette. Ha portato con sé 2.000.000 e intende giocarli uno alla volta sul rosso fin quando il suo capitale non risulta raddoppiato.
Che probabilità ha Pantani di tornare a casa a mani vuote?
Ricordiamo che la probabilità di vincere giocando sul rosso è 18/37.
ricciolo
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Messaggioda david_e » 05/04/2005, 21:08

Per ora rispondo solo al quesito 2 di cui mi pare di aver visto subito la soluzione.

La probabilita' cercata e' 1 meno la probabilita' di estrarre la pallina per prima o per seconda.

P = 1 - 1/7 - 1/6 = 29/42

Mi sono permesso di sottrarre direttamente le probabilita' senza fare altre ipotesi perche' gli eventi sono indipendenti (o almeno io lo ho ipotizzato) e lo spazio di probabilita' a cardinalita' finita ed e' equiprobabile.
david_e
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Messaggioda ricciolo » 06/04/2005, 12:20

Ciao,
penso proprio che la soluzione da te trovata non sia corretta poichè ho richiesto le probabili soluzioni al tutor e sono:
a)5/7
b)36/49
c)28/49
d)1/5
Grazie,
Giusy.
ricciolo
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Messaggioda david_e » 06/04/2005, 16:04

Ieri sera devo aver bevuto troppo per cena....

Ho scrito delle cose orribili!

Hai ragione e' sbagliata.

La soluzione corretta e' 5/7. Perche' estrarre la palline dall'urna senza rimetterle dentro equivale a chiedersi come permutare una stringa di 7 palline di cui 6 sono bianche e 1 nera. Siccome esistono 2 soli modi per disporre queste palline in modo che la nera non sia preceduta da almeno due bianche la probabilita' complementare a quella cercata e' 2/7 per cui quella cercata e' 5/7.

Ho provato a farlo anche con la regola di Bayes e il risultato e' lo stesso. (solo con piu' conti)
david_e
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Messaggioda david_e » 06/04/2005, 20:29

Ho fatto anche il quesito 1 e il 4. Controllate che siano giusti.

QUESITO 1

La probabilita' di vincere e' 1/6 + (2/6)(1/4) = 1/4
Ovvero la probabilita' di fare 1 nel dado piu' quella di fare un numero dispari E pescare una carta di denari (sono 10 su 40 se non ricordo male). Bisognerebbe togliere la probabilita' dell'intersezione fra questi due eventi per il principio di esclusione di Poincaire, ma questi eventi hanno intersezione vuota.

Se -s e' quanto si guadagna quando si perde (-1000 lire)
e v e' quanto si guadagna quando si vince (si intende che la posta non viene comunque restituita)

Creiamo una variabile aleatoria X="guadagno" e calcoliamo la sua media viene:
E[X]=(v-s)(1/4)-(3/4)s
Si impone uguale a zero e si trova
v=4s ==> v = 4000 lire.

QUESITO 4

Definiamo questi eventi come sottoinsiemi di un opportuno spazio di probabilita' (O,Z,P):

I="L'Italia vince"
F="La Francia vince"
V="Vieri segna".

E' chiaro che (I,F) e' una partizione dello spazio. (I=F(complementare))

Quindi: (formula di Bayes)
P(V) = P(V|I)P(I) + P(V|F)P(F) = (...) = 0.46666....
david_e
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Messaggioda ricciolo » 12/04/2005, 11:56

Grazie Davide.
Scusa se ti rispondo solo adesso ma in questi giorni non ho avuto il tempo di accendere il PC (ho due bimbe piccoline che richiedono tempo!).
I risultati sono corretti poichè rientrano tra le possibili soluzioni.
Ho anche le soluzione relative agli all'ultimo quesito:
a)19/37
b)(19/37)^2
c)361/685
d)1/2
ti ringrazio ancora x il tempo che mi hai dedicato.
Ciao,
Giusy.
ricciolo
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Messaggioda Lucked » 13/04/2005, 18:25

Ciao a tutti. Sto anke io studiando statistica. Mi permetto di farvi osservare che l'esercizio 2, proposto si può risolvere in modo molto più semplice e meno fantasioso. Basta applicare l'ipergeometrica con i valori giusti

il campione totale N = 5
il campione che estraiamo n = 1

le nere totali K = 1
le nere che vogliamo nel campione k = 1

quindi..
nota: C stà per combinaxione

..................(K C k) * (N-K C n - k)
prob(k) = ------------------------------------ =
...........................(N C n)

(1 C 1) * (5-1 C 1-1)......1
----------------------- = ------
........5 C 1...................5
Lucked
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Messaggioda Lucked » 13/04/2005, 18:36

ah ma non fa 1/5 ? mmmmmmmmmm............. [:I][:I][:I]
Lucked
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Messaggioda david_e » 13/04/2005, 19:36

Il campione totale e'

6 bianche + 1 nera = 7

Il numero di estrazioni da fare e' 2 perche' se estraiamo la nera alla seconda estrazione c'e' prima una sola bianca.
david_e
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