Statistica:Stimatori e Rischio Quadratico

[Marvin]

Ciao a tutti
sto preparando un argomento per l'esame di statistica che personalmento trovo "spinoso" e nel quale non riesco a districarmi..sarei grato se qlc riuscisse a darmi una mano
Si tratta della verifica di uno stimatore (distorto) o non disorto e il calcolo del suo rischio quadratico:
Parto direttamente dalla def del libro :
uno stimatore NON è distorto se il suo bias è = 0;cioè: E[d(x)]-theta = 0
dove d(x) è il valore dello stimatore.
a questo punto non capisco come il mio prof svolga qst es:
Sia X1,...Xn un n-campione della densità su[-1 , 1]
la cui f(x) di densità è ==> f(x) = (1+thetax)/2 con |theta|<= 1

*Verificare che E[Xk] = theta/3 per ogni k
==> questo punto l'ho già risolto,si tratta di valutare un integrale tra -1 , 1...la parte che non capisco arriva ora...

*Verficare che lo stimatore di theta dato da theta^ (l'apice indica "theta cappello" ossia il valore dello stimatore) = 3(Xmedio) = 3(X1+...+Xn)/n
è NON DISTORTO e calcolare il suo rischio quadrato
==> Premetto che il RISCHIO QUADRATICO di uno stimatore è dato dalla sua VARIANZA
copio testuale ciò che scrive il mio prof nella correzione:

VAR[theta^]=9VAR[Xmedio]=(9/n)VAR[X1] ==>????????

(io so che VAR[X] in generale è = E[x^2]-E[x]^2)

il passaggio successivo trova E[x^2] con il solito integrale sulla densità (trova il momento secondo,per essere più precisi)

e il passaggio finale è : VAR[theta^]= (3 - theta^2)/n ==>???????

...spero di essere stato "abbastanza" chiaro nello scrivere il testo...purtroppo il tema il mio prof non l'ha pubblicato sul web e quindi non posso darvi l'url..
se qlc sta studiando la stessa cosa,o perlomeno è interessato a capirci qlc..beh,io sono disponibile a ragionarci.
se qlc volesse il testo,glielo posso passare per email o per messenger
il mio contatto è [email protected]
vi ringrazio anticipatamente

Marvin C. Marino

[karl]

Ciao.

[Marvin]

Grazie mille Archimede per il tuo aiuto
volevo comunque chiederti due cose :
1) punto 3,nel passaggio da VAR[3/n(X1+...+Xn)]=9/n^2 ==> come mai diventa così?
2) sempre punto 3,nell'integrale di (1+xtheta)/2 porti fuori sia theta 1/2?io ho provato a
farlo a mano e viene diverso...
Ti ringrazio ancora.

Marvin

[karl]

Per il primo punto del N°3 ho fatto uso di note
proprieta' della varianza e precisamente:
a)Var(kX)=(k^2)*Var(X) [nel nostro caso k e' 3/n]
b)La varianza della somma di piu' variabili casuali
<b>indipendenti</b> e' uguale alla somma delle Varianze delle singole
v.c.
Ovvero Var(X1+X2+...+Xn)=Var(X1)+Var(X2)+...+Var(Xn)
Per l'altro punto sempre del N° 3 ti faccio tutti i passaggi:

Ciao.

[Marvin]

Grazie ancora per lo sviluppo,mi sono accorto dove sbagliavo..un punto un po' strano però.
Quando io ho un integrale con una somma in genere io spezzo l'integrale come somma di integrali.. in questo caso mi verrebbe 1/2 [int x^2 dx] + 1/2[int x^3thetadx]...svolgendolo cosi mi viene poi:

1/2[x^3/3] tra -1 e 1 + 1/2[x^4theta/4] sempre tra -1 e 1

sei d'accordo che se valuto il secondo int definito mi si annulla e quindi mi rimane solamente il primo?
spero che si capisca cosa intendo..perchè ti spiego:in genere io ho sempre fatto questo lavoro di spezzare in due integrali e non mi ha mai dato problemi..capisco esattamente come lo svolgi tu (tralatro..che programma usi??) e io provandolo a fare con il tuo metodo mi viene identico,è solo che..a questo punto inizio a dubitare della validità del mio.

Grazie Ancora,
Marvin

[karl]

Il tuo calcolo e' esatto ma forse hai dimenticato l'altro
pezzo che sta fuori l'integrale e che e' (theta)^2/9 .
Questo ,tenuto conto del fattore 9/n che sta fuori parentesi,
porta al risultato giusto anche come fai tu.
Ciao.
P.S.
Il mio editor di equazioni e' mathtype ma poi bisogna appoggiarsi
a http://imageshack.us/ ( o ad altri siti ospite) per postare
l'mmagine prodotte dall'editor.

[Marvin]

Ok,stasera (per l'ennesima volta)provo a rifare con il mio metodo tenendo conto di quello che mi hai detto tu.
Ho visto il software che mi hai detto (Mathtype) downloadabile solo in versione trial..tu me lo consigli?è da un po' che sto cercando un programma di matematica...ho scaricato Scilab ma è veramente terribile.
Attualmente sto usando Mathcad (un software che utilizzano gli studenti della Bocconi)..lo conosci?che ne pensi?

Ciao!
Marvin